Gabungan linear vektor

Gabungan linear ialah cara membina vektor baharu daripada suatu set vektor dengan menggunakan penambahan dan pendaraban sahaja.

Apakah gabungan linear

Katakan kita mempunyai suatu ruang vektor V. Kita tahu bahawa ruang ini tertutup terhadap operasi penambahan vektor, jadi bagi dua vektor x, y ∈ V sentiasa berlaku x + y ∈ V. Jika kita menambah dua vektor, kita memperoleh vektor daripada ruang yang sama. Hal yang sama berlaku bagi pendaraban dengan skalar. Jika kita mempunyai suatu k ∈ ℝ, maka k · x ∈ V juga.

Kedua-dua operasi ini boleh digabungkan — kita ambil k, l ∈ ℝ, dan ungkapan k · x + l · y memberikan vektor baharu, katakan v, dan vektor v ini juga terletak dalam ruang V. Mengapa? k · x ∈ V, dan tentu sahaja l · y ∈ V juga. Kita menambah dua vektor dalam ruang V, jadi mengikut takrif, kita mesti memperoleh vektor dalam ruang V.

Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa vektor v ialah gabungan linear bagi vektor x dan y. Secara umum: jika kita mempunyai vektor x₁, x₂, …, x_n dan nombor nyata k₁, k₂, …, k_n, yang dipanggil pekali, maka gabungan linear bagi vektor ini ialah vektor v yang diperoleh daripada

$$\mathbf{v}=k_1\cdot {\mathbf{x}}_1+k_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +k_n\cdot {\mathbf{x}}_n.$$

Contoh: kita ambil ruang ℝ² dan dua vektor daripadanya: (2, 3) dan (0, 8). Sekarang kita pilih pekali: k₁ = 2, k₂ = 5. Gabungan linear bagi vektor ini dengan pekali k₁, k₂ memberikan vektor

$$2\cdot (2,3)+5\cdot (0,8)=(4,6)+(0,40)=(4,46)$$

Kita lihat bahawa kita memperoleh vektor (4, 46) yang tergolong dalam ruang ℝ². Jika kita memilih pekali yang lain, kita memperoleh vektor yang lain. Bagi k₁ = 0, k₂ = −1, kita memperoleh:

$$0\cdot (2,3)-1\cdot (0,8)=(0,0)+(0,-8)=(0,-8)$$

Vektor bersandar linear

Gabungan linear berkait rapat dengan vektor yang bersandar linear atau tak bersandar linear. Kita tunjukkan perkara ini melalui contoh: katakan kita mempunyai ruang vektor ℝ² dan set vektor Q daripada ruang ini:

$$Q=\{(1,1),(2,4),(3,5),(10,18)\}$$

Sekarang kita ingin tahu sama ada salah satu daripada empat vektor ini dapat diungkapkan sebagai gabungan linear tiga vektor yang lain. Jika kita perhatikan vektor ini, kita lihat bahawa vektor (3, 5) sama dengan hasil tambah biasa dua vektor pertama.

$$(1,1)+(2,4)=(3,5)$$

Jadi, vektor (3, 5) ialah gabungan linear bagi vektor (1, 1) dan (2, 4). Untuk keseronokan, kita buang vektor ini daripada set Q. Kita memperoleh set baharu Q₁ yang berbentuk:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

Adakah masih ada vektor yang merupakan gabungan linear vektor lain? Ya, vektor (10, 18) ialah gabungan linear dua vektor pertama bagi k₁ = 2, k₂ = 4:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)=(2,2)+(8,16)=(10,18)$$

Sekali lagi kita buang vektor ini dan memperoleh:

$$Q_2=\{(1,1),(2,4)\}$$

Kita bertanya sekali lagi — bolehkah kita memperoleh salah satu vektor sebagai gabungan vektor yang satu lagi? Tidak boleh; tiada gandaan vektor (1, 1) yang sama dengan vektor (2, 4).

Kita telah memperoleh set vektor yang tiada satu pun vektornya dapat diungkapkan sebagai gabungan linear vektor yang lain. Set seperti ini dipanggil set vektor yang tak bersandar linear. Jika suatu vektor dapat diungkapkan sebagai gabungan vektor yang lain, vektor itu dikatakan bersandar linear. Jika vektor itu tidak dapat diungkapkan sedemikian, vektor itu dikatakan tak bersandar linear.

Vektor sifar

Vektor sifar 0 memainkan peranan penting dalam kebersandaran linear. Mari kita kembali kepada set vektor Q₁ dan ruang ℝ². Set Q₁ berbentuk seperti berikut:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

dan kita sudah tahu bahawa vektor (10, 18) bersandar, kerana 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18). Jadi, apakah yang berlaku jika kita menolak vektor (10, 18) daripada ungkapan 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4)? Atau dengan kata lain, jika kita menambah −1 kali vektor itu? Ungkapannya menjadi seperti berikut:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)$$

Ungkapan ini tentu sama dengan vektor sifar:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)=(0,0)$$

Daripada ini kita boleh menyimpulkan satu sifat yang menarik. Jika set vektor x₁, x₂, …, x_n bersandar linear, maka wujud pekali nyata a₁, a₂, …, a_n dengan keadaan

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Dalam kes ini, sekurang-kurangnya satu pekali a_i mesti bukan sifar. Jika kita gantikan semua pekali dengan sifar, kita sentiasa memperoleh persamaan yang benar, dan akibatnya setiap set vektor akan menjadi bersandar linear, dan hal ini tentu tidak masuk akal. Persamaan tadi mudah dijelaskan. Contohnya, jika vektor x₁ bersandar linear, maka

$$a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n={\mathbf{x}}_1$$

Kita hanya perlu menambah −x₁ pada persamaan ini untuk memperoleh

$$-1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Cara menentukan sama ada vektor bersandar

Jika kita mempunyai vektor x₁, x₂, …, x_n dan ingin menentukan sama ada vektor itu bersandar linear atau tak bersandar linear, kita hanya perlu menyelesaikan persamaan tadi

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

iaitu mencari pekali a_i. Jika kita berada dalam ruang ℝ³, kita mungkin mempunyai vektor berikut: (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Oleh sebab kita ingin tahu sama ada vektor ini bersandar, kita selesaikan persamaan ini:

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Kita hanya perlu menguraikan persamaan ini mengikut takrif penambahan dan pendaraban vektor. Kita tahu bahawa a₁ · (1, 2, 3) = (a₁, 2a₁, 3a₁) dan seterusnya. Kita uraikan seperti berikut:

$$(a_1,2a_1,3a_1)+(2a_2,a_2,7a_2)+(a_3,-4a_3,5a_3)=(0,0,0)$$

Sekarang kita uraikan penambahannya. Kita sentiasa menambah komponen pada kedudukan yang sama, jadi kita tambahkan komponen pertama vektor pertama a₁ dengan komponen pertama vektor kedua 2a₂ dan dengan komponen pertama vektor ketiga a₃, dan semuanya mesti sama dengan komponen pertama vektor sifar, iaitu sifar. Begitu juga bagi komponen kedua dan ketiga. Kita memperoleh sistem persamaan linear:

$$\begin{array}{}{a}_1& +& 2a_2& +& a_3& =& 0\\ 2a_1& +& a_2& +& -4a_3& =& 0\\ 3a_1& +& 7a_2& +& 5a_3& =& 0\end{array}$$

Sistem ini boleh ditulis dalam bentuk matriks biasa:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)$$

Perhatikan bahawa lajur matriks ini sebenarnya ialah vektor asal. Dalam lajur pertama matriks terdapat vektor asal (1, 2, 3), dalam lajur ketiga terdapat vektor (1, −4, 5), dan seterusnya. Oleh itu, semasa mengira, anda tidak perlu sentiasa melakukan semua langkah yang rumit ini; anda boleh membina matriks ini dengan menyusun vektor yang hendak diuji kebersandarannya sebagai lajur, kemudian menambah lajur sifar.

Sistem ini boleh diselesaikan dengan kaedah penghapusan Gauss. Kita ubah matriks kepada bentuk eselon baris. Mula-mula kita tambahkan −2 kali baris pertama pada baris kedua dan −3 kali baris pertama pada baris ketiga:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Sekarang kita boleh menambah 3 kali baris ketiga pada baris kedua:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Kita tidak perlu mengira lagi; kita berjaya menjadikan satu baris sifar, dan hal ini menunjukkan bahawa vektor itu bersandar linear. Namun, kita boleh menyelesaikan sistem ini sehingga habis. Kita pilih parameter a₃ = t. Kemudian daripada persamaan

$$a_2+2a_3=0$$

iaitu baris terakhir matriks, dengan menggantikan a₃ = t kita memperoleh persamaan:

$$\begin{array}{rcl}{a}_2+2t& =& 0\\ a_2& =& -2t\end{array}$$

Sekarang kita gantikan nilai ini ke dalam persamaan pertama, iaitu baris pertama matriks:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1+2a_2+a_3& =& 0\\ a_1-4t+t& =& 0\\ a_1& =& 3t\end{array}$$

Jadi, kita memperoleh a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Jika kita gantikan t dengan, misalnya, t = 3, kita memperoleh satu penyelesaian konkrit a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Pekali ini boleh kita gantikan ke dalam persamaan asal

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

dan kita memperoleh:

$$9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Kita permudahkan sebelah kiri:

$$\begin{array}{rcl}9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)& =& (0,0,0)\\ (9,18,27)+(-12,-6,-42)+(3,-12,15)& =& (0,0,0)\\ (9-12+3,18-6-12,27-42+15)& =& (0,0,0)\\ (0,0,0)& =& (0,0,0)\end{array}$$

Kita lihat bahawa jika kita memilih pekali, misalnya, a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, kita memperoleh vektor sifar daripada vektor (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Jika sistem itu hanya mempunyai satu penyelesaian, iaitu penyelesaian sifar, maka vektor itu tak bersandar linear.