Kedudukan relatif garis lurus dan bulatan

Garis lurus dan bulatan pada satah hanya boleh bertemu dalam tiga cara. Garis itu sama ada menyilang bulatan pada dua titik, dan dipanggil garis sekan. Atau garis itu hanya menyentuh bulatan pada satu titik, dan dipanggil tangen. Atau garis itu langsung tidak menyentuh bulatan, jadi kedua-duanya tiada titik sepunya, dan garis itu dipanggil garis luar. Tiada kemungkinan lain, kerana garis lurus tidak boleh mempunyai tiga titik sepunya dengan bulatan. Contoh tangen yang baik ialah roda di atas jalan raya: roda itu menyentuh jalan pada satu titik sahaja.

Dalam gambar rajah, garis biru p ialah garis sekan, garis merah t ialah tangen, dan garis hijau q ialah garis luar. Titik sepunya ditandakan dengan warna jingga. Ketiga-tiga garis itu selari dan hanya berbeza dari segi jaraknya dari pusat S. Jarak inilah yang menjadi kunci.

Berdasarkan jarak dari pusat

Jarak pusat ke garis lurus ialah panjang laluan terpendek dari pusat ke garis itu. Laluan ini sentiasa serenjang dengan garis: dari pusat, kita lukis garis serenjang ke garis lurus itu dan mengukur tembereng garis dari pusat ke titik persilangannya. Jarak dari pusat ke sebarang titik lain pada garis itu lebih panjang, kerana tembereng garis sedemikian ialah hipotenus segi tiga bersudut tegak, dan hipotenus lebih panjang daripada sisi yang lain. Dalam gambar rajah, garis serenjang ini ditunjukkan dengan garis putus-putus kelabu, dan sudut tegak pada setiap garis ditandakan dengan lengkok bertitik.

Tandakan jarak ini sebagai d dan bandingkan dengan jejari r:

• d < r — garis lebih dekat dengan pusat berbanding jejari, jadi garis itu masuk ke dalam bulatan dan keluar semula. Garis itu ialah garis sekan.
• d = r — garis hanya menyentuh bulatan. Garis itu ialah tangen.
• d > r — garis lebih jauh dari pusat berbanding jangkauan bulatan. Garis itu ialah garis luar.

Bagi tangen, garis serenjang dari pusat melalui titik sentuhan itu sendiri. Oleh itu, tangen sentiasa serenjang dengan jejari yang menuju ke titik sentuhan.

Jarak pusat ke garis lurus ditentukan dengan rumus jarak titik ke garis lurus. Bagi titik S(m, n) dan garis lurus ax + by + c = 0:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Rumus ini memerlukan persamaan garis lurus dalam bentuk am. Jika garis itu diberikan, misalnya, sebagai y = x + 1, kita perlu mengubahnya dahulu kepada x − y + 1 = 0. Jika tidak, kita akan menggantikan nombor yang salah.

Mari kita cuba rumus ini pada bulatan x² + y² = 25 dan garis lurus 3x − 4y − 25 = 0. Menurut persamaan bulatan, pusat bulatan ini ialah asalan S(0, 0) dan jejarinya $r=\sqrt{25}=5$. Daripada persamaan garis lurus, kita baca a = 3, b = −4 dan c = −25, kemudian gantikan nilai:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Kemudian kita lengkapkan pengiraan:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Hasilnya 5, tepat sama dengan jejari. Oleh itu, garis lurus ini ialah tangen kepada bulatan.

Dalam gambar rajah, jarak d ditunjukkan dengan warna merah. Panjang garis serenjang dari pusat sama dengan jejari, jadi garis itu berakhir tepat pada bulatan, iaitu di titik T, tempat garis lurus menyentuh bulatan.

Kaedah ini cepat dan sesuai apabila kita hanya perlu tahu kedudukan garis lurus terhadap bulatan. Namun, kaedah ini tidak memberitahu kita tempat garis itu menyilang atau menyentuh bulatan. Untuk itu, kita perlu membuat pengiraan.

Mengira titik sepunya

Titik sepunya garis lurus dan bulatan mesti memenuhi kedua-dua persamaan serentak. Jadi, kita selesaikan persamaan serentak, seperti dalam kedudukan relatif dua garis lurus: daripada persamaan garis lurus, kita ungkapkan satu pemboleh ubah dan menggantikannya ke dalam persamaan bulatan. Kita akan memperoleh persamaan kuadratik, dan bilangan penyelesaiannya sama dengan bilangan titik sepunya garis lurus dengan bulatan. Bilangan penyelesaian ditentukan oleh pembeza layan, yang di sini ditandakan dengan huruf D:

• D > 0 — dua penyelesaian, garis itu ialah garis sekan,
• D = 0 — satu penyelesaian (punca berulang), garis itu ialah tangen,
• D < 0 — tiada penyelesaian, garis itu ialah garis luar.

Contoh pertama: Diberi bulatan x² + y² = 25 dan garis lurus y = x + 1. Kita gantikan y dalam persamaan bulatan dengan ungkapan x + 1:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Kita kembangkan kurungan:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Kita gabungkan sebutan dan pindahkan semuanya ke sebelah kiri:

$$2x^2+2x-24=0$$

Seluruh persamaan dibahagi dengan dua:

$$x^2+x-12=0$$

Kita kira pembeza layan:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Pembeza layan positif, jadi garis itu ialah garis sekan. Puncanya ialah

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

iaitu x₁ = 3 dan x₂ = −4. Kerja belum selesai: kita mencari titik, bukan koordinat pertamanya sahaja. Koordinat kedua diperoleh daripada persamaan garis lurus y = x + 1: bagi x = 3, y = 4, dan bagi x = −4, y = −3. Jadi, garis lurus menyilang bulatan pada titik P(3, 4) dan Q(−4, −3).

Semakan bagi titik P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Betul, titik itu terletak pada bulatan.

Contoh kedua: Kita ambil semula garis lurus 3x − 4y = 25 daripada bahagian sebelum ini. Kita sudah tahu bahawa garis ini ialah tangen, jadi sekarang kita hanya perlu mencari titik sentuhan. Mula-mula, kita ungkapkan y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Kita gantikan ke dalam persamaan bulatan:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Kita kuasa duakan pecahan, iaitu pengangka dan penyebut secara berasingan:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Untuk menghapuskan pecahan, kita darab seluruh persamaan dengan enam belas:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Kita gabungkan sebutan dan pindahkannya ke sebelah kiri:

$$25x^2-150x+225=0$$

Kita bahagi dengan dua puluh lima:

$$x^2-6x+9=0$$

Pembeza layan:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Hasilnya sifar, jadi garis itu ialah tangen. Kita sudah mengetahuinya, tetapi elok juga melihat bahawa kedua-dua kaedah memberikan keputusan yang sama. Satu-satunya punca (punca berulang) ialah $x=\frac{6}{2}=3$, dan selepas penggantian ke dalam $y=\frac{3x-25}{4}$, kita peroleh $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Titik sentuhan ialah T(3, −4).

Contoh ketiga: Cuba garis lurus y = x + 10. Selepas penggantian ke dalam x² + y² = 25, kita peroleh persamaan 2x² + 20x + 75 = 0 dan pembeza layan D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Pembeza layan negatif bermaksud persamaan itu tiada penyelesaian, jadi garis lurus itu ialah garis luar.