Segi tiga bersudut tegak

Segi tiga bersudut tegak mempunyai satu sudut pedalaman yang tegak, iaitu bersaiz 90 darjah. Segi tiga ini mempunyai beberapa sifat menarik yang akan dibincangkan dalam artikel ini.

Ciri-ciri asas

Segi tiga bersudut tegak sudah diterangkan sebahagiannya dalam artikel utama tentang segi tiga. Segi tiga bersudut tegak mempunyai satu sudut pedalaman bersaiz 90 darjah. Dua sudut pedalaman yang lain semestinya kurang daripada 90 darjah, kerana jika tidak, hasil tambah sudut pedalaman tidak akan sama dengan 180 darjah. Malah, hasil tambah dua sudut yang lain itu tepat 90 darjah.

Segi tiga bersudut tegak sudah tentu mempunyai tiga sisi. Dua daripadanya ialah sisi yang mengapit sudut tegak (sisi merah), iaitu sisi yang lebih pendek, dan sisi ketiga dipanggil hipotenus (sisi biru), iaitu sisi yang paling panjang. Hipotenus sentiasa bertentangan dengan bucu yang mempunyai sudut tegak.

Teorem Pythagoras

Teorem matematik yang mungkin paling terkenal, teorem Pythagoras, berlaku dalam segi tiga bersudut tegak. Teorem Pythagoras berkaitan dengan panjang sisi segi tiga. Teorem ini menyatakan bahawa “luas segi empat sama pada hipotenus segi tiga bersudut tegak sama dengan hasil tambah luas segi empat sama pada dua sisi yang lain”. Secara matematik, bagi segi tiga kita yang hipotenusnya ialah sisi a:

$$a^2=b^2+c^2$$

Teorem Pythagoras dalam rajah, kali ini dengan tatatanda biasa, iaitu hipotenus c: Teorem ini dibincangkan dalam artikel tersendiri.

Luas segi tiga bersudut tegak

Luas segi tiga bersudut tegak sangat mudah dikira kerana tingginya bertindih dengan dua sisi yang mengapit sudut tegak. Bayangkan segi tiga bersudut tegak dalam rajah pertama. Bagaimanakah kita mengira luasnya tanpa mengetahui tinggi? Kita boleh melengkapkan segi tiga itu menjadi segi empat tepat. Dua sisi segi empat tepat ialah dua sisi segi tiga yang mengapit sudut tegak, dan dua sisi lagi ditambah supaya terbentuk segi empat tepat: Kita sudah tahu cara mengira luas segi empat tepat, iaitu hasil darab panjang dua sisi yang bersebelahan. Dalam kes kita, hasil darab sisi merah AC dan AB. Hasilnya ialah luas segi empat tepat. Namun, hipotenus BC ialah pepenjuru segi empat tepat, yang membahagikan segi empat tepat itu kepada dua bahagian yang sama. Jadi, jika kita membahagikan luas segi empat tepat dengan dua, kita memperoleh luas segi tiga bersudut tegak. Rumusnya ialah:

$$L_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

dengan b dan c ialah panjang dua sisi yang mengapit sudut tegak.

Fungsi trigonometri sinus dan kosinus

Dalam segi tiga bersudut tegak, fungsi trigonometri asas dan hubungannya berlaku. Fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, tangen dan kotangen menyatakan nisbah antara panjang sisi-sisi dalam segi tiga bersudut tegak. Mari kita gunakan sekali lagi segi tiga pertama, kali ini dengan sudut-sudutnya ditandakan.

Untuk mencari nisbah panjang dua sisi, kita ambil kedua-dua panjang itu dan bahagikan mengikut urutan yang diberi. Misalnya, nisbah panjang sisi b:c (dibaca “b kepada c”) diperoleh dengan membahagikan 3/5 (sisi b mempunyai panjang 3, sisi c pula 5).

Fungsi sinus melibatkan nisbah dua sisi dan satu sudut. Berdasarkan rajah kita: jika kita mengambil nisbah sisi b:a, kita memperoleh nilai sinus bagi sudut β. Kosinus berfungsi dengan cara yang serupa, tetapi bagi nisbah c:a dan sudut β yang sama. Maka:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \mathrm{kos}(\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Dalam segi tiga bersudut tegak, sinus dan kosinus hanya digunakan bagi sudut yang kurang daripada 90 darjah, iaitu dalam kes ini sudut β dan γ. Dalam julat ini, sinus dan kosinus sentiasa memberikan nombor dalam selang (0, 1). Oleh itu, anda boleh mengingati peraturan ini: sentiasa bahagikan sisi yang lebih pendek dengan sisi yang lebih panjang supaya anda memperoleh nombor dalam selang (0, 1).

Kedua-dua fungsi juga melibatkan satu sisi yang mengapit sudut tegak dan hipotenus, tidak pernah dua sisi yang mengapit sudut tegak sekali gus. Oleh sebab anda sentiasa membahagikan sisi yang lebih pendek dengan sisi yang lebih panjang, hipotenus sentiasa menjadi penyebut pecahan. Jika anda melihat rumus di atas, penyebutnya sentiasa a, iaitu hipotenus segi tiga itu.

Peraturan terakhir ialah sinus menggunakan sisi bertentangan, manakala kosinus menggunakan sisi bersebelahan. Apakah maksudnya? Bagi sudut β, sisi bersebelahan ialah sisi yang bermula dari titik B, iaitu sisi c. Sisi bertentangan ialah sisi yang satu lagi, iaitu sisi b. Itulah sebabnya rumus sinus mengandungi sisi b dan rumus kosinus mengandungi sisi c.

Ringkasnya: sinus memberikan nisbah sisi bertentangan kepada hipotenus, manakala kosinus memberikan nisbah sisi bersebelahan kepada hipotenus. Bagaimanakah kita boleh menggunakan fakta ini? Jika anda tahu sudut-sudut dalam segi tiga dan panjang hipotenus atau salah satu sisi yang lain, anda boleh mengira panjang sisi-sisi yang selebihnya. Contoh:

Bagi segi tiga tadi:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta ={30.96}^{\circ }$$

Berapakah panjang sisi a? Kita tahu bahawa:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

Kita tahu nilai sinus dan panjang sisi b, dan kita mencari panjang sisi a. Kita jadikan a perkara rumus menggunakan operasi setara:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Mula-mula kita darabkan persamaan dengan a, kemudian kita bahagikan persamaan dengan sinus.) Di sebelah kanan, semua nilai sudah diketahui, jadi kita gantikan nilai-nilai itu. Nilai sinus dikira dengan kalkulator.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{0.514}=5.83.$$

Sisi a mempunyai panjang 5.83. Jika anda mengira sinus dengan kalkulator, pastikan kalkulator berada dalam mod darjah. Masalah yang kerap berlaku ialah kalkulator mengira dalam radian, iaitu ukuran sudut yang lain. Namun, hubungan penukarannya ialah:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

dengan deg ialah nilai anda dalam darjah.

Fungsi trigonometri tangen dan kotangen

Dua fungsi ini juga mudah digunakan dalam segi tiga bersudut tegak. Sekali lagi, kita hanya menggunakan sudut yang kurang daripada 90 darjah. Namun, tidak seperti sinus dan kosinus, fungsi ini tidak melibatkan hipotenus, hanya dua sisi yang mengapit sudut tegak. Tangen suatu sudut ialah nisbah sisi bertentangan kepada sisi bersebelahan, manakala kotangen ialah nisbah sisi bersebelahan kepada sisi bertentangan.

Bagi segi tiga tadi:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \mathrm{kot}(\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Mari kita kira panjang sisi AC (sisi b) dalam segi tiga tadi menggunakan sudut β. Saiz sudut ini sudah diketahui daripada contoh sebelumnya. Kita tahu bahawa:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

Kita jadikan sisi b perkara rumus:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(Kita hanya mendarabkan persamaan dengan c dan menukar kedudukan kedua-dua belah.) Sekarang kita tahu semua yang diperlukan untuk mengira panjang sisi b. Kita gantikan nilainya:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30.96)=5\cdot 0.6=3$$

Daripada rajah, kita dapat melihat bahawa jawapan ini betul. Sekali lagi, ingat bahawa sudut dalam rumus tangen diberi dalam darjah, manakala kalkulator mungkin memerlukan sudut dalam radian.

Sebagai gambaran, kita juga boleh mengira sisi yang sama menggunakan kotangen:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{kot}(\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \mathrm{kot}(\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\mathrm{kot}(\beta )}\end{array}$$

Kita gantikan nilainya:

$$b=\frac{5}{\mathrm{kot}(30.96)}=\frac{5}{1.666\dots }=3$$

Sekali lagi, kita memperoleh jawapan yang betul.