Persamaan garis lurus dalam ruang

Artikel sebelum ini membincangkan cara mengungkapkan garis lurus pada satah secara analitik. Dalam artikel ini, kita akan melihat cara mengungkapkan garis lurus dalam ruang.

Persamaan parametrik garis lurus dalam ruang

Dalam artikel persamaan parametrik garis lurus pada satah, kita telah melihat bahawa jika garis lurus p melalui titik A dan mempunyai vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, setiap titik X pada garis p boleh diungkapkan sebagai

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Nombor t dipanggil parameter. Persamaan tadi membawa kepada persamaan serentak yang sudah kita kenali:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Lihat gambar rajah:

Jika kita menambah suatu gandaan t bagi vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ kepada titik A, kita akan memperoleh titik B. Hal yang sama berlaku bagi setiap titik pada garis itu.

Idea ini juga boleh digunakan dalam ruang. Dalam ruang juga, garis lurus p boleh ditentukan oleh titik A yang dilaluinya dan vektor arahnya $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Kemudian, bagi setiap titik X pada garis itu, berlaku

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Kita memperoleh persamaan yang sama. Bezanya, kita berada dalam ruang, jadi titik X dan A mempunyai tiga koordinat, bukan dua, dan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ juga mempunyai tiga komponen. Persamaan ini membawa kepada tiga persamaan serentak, bukan dua:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

dengan x, y, z ialah koordinat titik X(x, y, z) yang terletak di suatu tempat pada garis itu, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ ialah vektor arah, dan A(a₁, a₂, a₃) ialah titik dalam ruang yang dilalui oleh garis itu.