Persamaan garis lurus bentuk am

Persamaan garis lurus bentuk am diperoleh daripada persamaan parametrik garis lurus dengan menghapuskan parameter t.

Motivasi

Masih ingat fungsi linear? Graf fungsi linear ialah garis lurus. Fungsi linear biasanya ditulis dalam bentuk y = ax + b. Perhatikan garis lurus p yang melalui titik A(0, 3), B(2, 7):

Kita akan menentukan fungsi linear yang grafnya ialah garis p ini. Fungsi linear ini berbentuk y = ax + b. Oleh sebab garis itu melalui titik A(0, 3), nilai fungsi pada x₁ = 0 ialah y₁ = 3. Jadi, persamaan a · 0 + b = 3 mesti benar. Garis itu juga melalui titik B(2, 7), jadi nilai fungsi pada x₂ = 2 ialah y₂ = 7, dan persamaan a · 2 + b = 7 juga mesti benar. Kita mencari pekali a, b. Kita peroleh persamaan serentak:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

Daripada persamaan pertama a · 0 + b = 3, kita terus memperoleh pekali b, iaitu b = 3. Kita gantikan hasil ini ke dalam persamaan kedua, iaitu kita gantikan b dengan tiga dalam persamaan a · 2 + b = 7:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

Kedua-dua pekali sudah diperoleh: a = 2, b = 3. Fungsi yang memerihalkan garis tadi ialah y = 2x + 3. Jika kita gantikan x dengan x = 1, kita peroleh y = 2 + 3 = 5, dan nilai ini sepadan dengan graf. Bentuk y = 2x + 3 boleh ditulis semula supaya sebelah kanan bernilai sifar, iaitu dengan menambah −(2x + 3) kepada kedua-dua belah persamaan. Kita peroleh persamaan:

$$y-2x-3=0$$

Persamaan ini dipanggil persamaan garis lurus bentuk am.

Takrif persamaan bentuk am

Kaedah tadi agak rumit dan tidak boleh digunakan jika garis lurus selari dengan paksi-y, iaitu garis mencancang, kerana garis sedemikian bukan graf sebarang fungsi. Oleh itu, kita mentakrifkan persamaan bentuk am dengan cara lain. Setiap persamaan linear yang berbentuk

$$ax+by+c=0,$$

dengan a,b,c ∈ ℝ dan sekurang-kurangnya satu daripada a,b ≠ 0, ialah persamaan garis lurus pada satah. Sebaliknya, setiap garis lurus pada satah boleh diungkapkan dalam bentuk ini. Persamaan ini dipanggil persamaan garis lurus bentuk am. Persamaan ini mudah diperoleh daripada persamaan parametrik garis lurus. Jika garis lurus diberikan oleh persamaan parametrik

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

kita memperoleh persamaan bentuk am dengan menghapuskan parameter t. Contoh: kita gunakan garis lurus tadi yang ditentukan oleh titik A(0, 3), B(2, 7). Kita cari vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ daripada tembereng garis berarah $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,7)-(0,3)=(2,4)$$

Lihat semula garis p dengan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

Kita tulis persamaan parametrik berdasarkan titik A dan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Untuk memperoleh persamaan bentuk am, kita perlu menambah kedua-dua persamaan supaya parameter t terhapus. Mula-mula, kita darab persamaan pertama dengan −2, manakala persamaan kedua tidak diubah:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Kemudian kita tambah kedua-dua persamaan dan memperoleh satu persamaan:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Inilah persamaan bentuk am bagi garis p. Kita memperoleh persamaan yang sama seperti dengan kaedah pertama.

Kegunaan persamaan bentuk am

Persamaan bentuk am menentukan semua titik yang membentuk garis lurus. Jika kita menggantikan pemboleh ubah x,y dalam persamaan ax + by + c = 0 dengan nombor nyata yang menjadikan persamaan itu benar, maka (x, y) ialah titik pada garis tersebut. Kembali kepada garis tadi dengan persamaan bentuk am y − 2x − 3 = 0. Jika kita gantikan x,y dengan nilai x = 1, y = 5, kita peroleh:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Maksudnya, titik (1, 5) terletak pada garis itu. Jika kita gantikan x = 2, y = 3, kita peroleh:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Persamaan ini tidak benar, jadi titik (2, 3) tidak terletak pada garis p. Kita boleh menyemaknya pada gambar rajah:

Garis mencancang

Tadi kita sudah menyebut bahawa persamaan bentuk am bagi garis mencancang p tidak boleh diperoleh dengan kaedah dalam bahagian pertama, kerana garis mencancang bukan graf sebarang fungsi. Namun, garis sedemikian juga mempunyai persamaan bentuk am, dan kita memperolehnya dengan kaedah dalam bahagian sebelum ini.

Kita tunjukkan kaedah ini bagi garis lurus yang melalui titik A(4, 2), B(4, 8). Vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ialah:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(4,8)-(4,2)=(0,6)$$

Gambar rajah:

Persamaan parametrik berdasarkan titik A dan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ialah:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Sekarang kita sepatutnya menghapuskan parameter t. Namun, persamaan pertama sudah menjimatkan kerja kita: persamaan itu tidak mengandungi parameter t (atau lebih tepat, pekalinya sentiasa sifar). Jadi, kita boleh menggunakan seluruh persamaan ini sebagai persamaan bentuk am bagi garis p. Persamaan bentuk am garis p ialah

$$x-4=0$$

Maka, pekali a,b,c dalam persamaan ax + by + c = 0 ialah a = 1, b = 0, c = −4.

Garis mengufuk

Berikut ialah satu lagi contoh, iaitu garis mengufuk yang melalui titik A(2, 1), B(5, 1). Vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ialah:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(5,1)-(2,1)=(3,0)$$

Gambar rajah:

Persamaan parametrik berdasarkan titik A ialah:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Sekali lagi, kita tidak perlu menghapuskan parameter t kerana pekalinya dalam persamaan kedua ialah sifar. Kita boleh terus menggunakan persamaan kedua sebagai persamaan bentuk am bagi garis p:

$$y-1=0$$