Vektor normal garis lurus

Vektor normal garis lurus p ialah vektor yang serenjang dengan garis p, dan komponennya diperoleh daripada persamaan bentuk am garis itu.

Motivasi

Katakan garis lurus p melalui titik A(0, 1), B(2, 5). Garis ini ialah graf fungsi y = 2x + 1, jadi persamaan bentuk amnya ialah −2x + y − 1 = 0. Gambar rajah:

Persamaan bentuk am ialah ax + by + c = 0, jadi bagi persamaan −2x + y − 1 = 0 kita ada a = −2, b = 1, c = −1. Apakah maksud geometri pekali a, b? Sekadar untuk mencuba, mari kita lukis vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(a,b)$, iaitu vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-2,1)$, pada gambar rajah:

Agak jelas bahawa vektor ini serenjang dengan garis p. Hal ini bukan kebetulan. Bagi sebarang persamaan bentuk am ax + by + c = 0, vektor (a, b) serenjang dengan garis tersebut. Vektor sedemikian dipanggil vektor normal garis lurus p.

Sifat vektor normal

Daripada sifat hasil darab skalar, kita tahu bahawa hasil darab skalar dua vektor ialah sifar jika dan hanya jika kedua-dua vektor saling serenjang. Vektor arah garis lurus p selari dengan garis p, jadi sebarang vektor arah garis p serenjang dengan vektor normal. Jika kita mengira vektor arah daripada tembereng garis $\overrightarrow{AB}$, kita peroleh vektor

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=B-A=(2,5)-(0,1)=(2,4)$$

Pada gambar rajah:

Mari kita teliti sedikit hasil darab skalar dua vektor. Sebagai peringatan, hasil darab ini ditakrifkan sebagai

$$(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

dan kita dapati bahawa bagi sebarang nombor nyata a, b, hasil darab skalar vektor (a, b) dengan (−b, a), dan vektor (a, b) dengan (b, −a), sentiasa sifar:

$$\begin{array}{rcl}(a,b)\cdot (-b,a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a,b)\cdot (b,-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

Sekarang kembali kepada garis p dengan persamaan bentuk am ax + by + c = 0 dan vektor normalnya (a,b) yang serenjang dengan garis itu. Tetapi tunggu dulu! Berdasarkan sifat tadi, hasil darab skalar vektor (−b, a) dan (b, −a) dengan vektor normal ialah sifar. Jadi, vektor (−b, a) dan (b, −a) mesti serenjang dengan vektor normal! Oleh sebab vektor normal serenjang dengan garis, vektor yang serenjang dengan vektor normal pula mesti selari dengan garis asal p! Menarik, bukan?

Kita boleh melukis vektor ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-b,a)$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(b,-a)$ pada gambar rajah. Persamaan bentuk am garis itu ialah −2x + y − 1 = 0, jadi selepas penggantian kita peroleh vektor hijau ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-1,-2)$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(1,2)$:

Persamaan bentuk am daripada vektor normal dan satu titik

Kita sudah tahu bahawa persamaan bentuk am agak mudah diperoleh daripada persamaan parametrik. Jika vektor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ diketahui, persamaan bentuk am juga mudah ditentukan. Katakan garis lurus p melalui titik A(5, 13) dan vektor normalnya ialah $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(4,-6)$. Persamaan bentuk am garis p ialah ax + by + c = 0. Berdasarkan takrif vektor normal, kita terus memperoleh pekali a, b, iaitu a = 4, b = −6, yang sama dengan komponen vektor normal. Persamaan bentuk am garis itu ialah

$$4x-6y+c=0$$

Kita masih perlu mencari pekali c. Persamaan yang memerihalkan garis p mesti benar bagi semua titik yang terletak pada garis p. Maksudnya, jika kita menggantikan x, y dengan koordinat titik pada garis p, persamaan itu mesti benar. Jadi, cukup jika kita menggantikan titik A, yang pasti terletak pada garis p. Koordinat titik A ialah A(5, 13), jadi kita gantikan x = 5, y = 13 ke dalam persamaan 4x − 6y + c = 0:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

Persamaan bentuk am lengkap bagi garis p ialah

$$4x-6y+58=0.$$

Dua vektor arah garis p ialah ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(6,4)$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(-6,-4)$.