Persamaan garis lurus bentuk kecerunan

Persamaan garis lurus bentuk kecerunan berkait dengan saiz sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan paksi-x.

Motivasi

Katakan garis lurus p mempunyai persamaan bentuk am ax + by + c = 0. Kita tahu bahawa graf fungsi linear ialah garis lurus. Fungsi linear itu sendiri biasanya ditulis dalam bentuk y = f(x). Oleh itu, kita mungkin mahu menukar persamaan bentuk am ax + by + c = 0 kepada bentuk ini. Untuk berbuat demikian, kita memerlukan b ≠ 0, kerana kita perlu menjadikan y perkara rumus, iaitu membahagikan seluruh persamaan dengan b. Jika b ≠ 0, persamaan bentuk am boleh diubah seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ jadikan }y\text{ perkara rumus}\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Kita peroleh bentuk biasa fungsi linear. Oleh sebab bentuk ini agak rumit, kita membuat penggantian dengan menetapkan

$$\begin{array}{rcl}k& =& -\frac{a}{b}\\ q& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

dan persamaan tadi boleh ditulis dalam bentuk:

$$y=kx+q$$

Bentuk ini sebenarnya tidak baharu. Kita hanya menulis q sebagai ganti pecahan $-\frac{c}{b}$ yang kurang kemas, itu sahaja. Oleh sebab kx + q memerihalkan fungsi linear biasa, garis lurus dalam bentuk ini tidak boleh selari dengan paksi-y. Kes ini sudah pun dikecualikan apabila kita menetapkan b ≠ 0.

Jika b = 0, garis lurus itu selari dengan paksi-y dan persamaan bentuk amnya ialah ax + c = 0. Jika persamaan ini dibahagi dengan a dan diubah, kita peroleh:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Pecahan $-\frac{c}{a}$ juga kurang kemas, jadi kita gunakan penggantian $m=-\frac{c}{a}$ dan akhirnya memperoleh persamaan

$$x=m$$

Ringkasnya, setiap garis lurus yang tidak selari dengan paksi-y boleh ditulis dalam bentuk y = kx + q, dengan k, q ∈ ℝ, dan setiap garis lurus yang selari dengan paksi-y boleh ditulis dalam bentuk x = m, dengan m ∈ ℝ.

Persamaan dalam bentuk y = kx + q dipanggil persamaan garis lurus bentuk kecerunan, dan pekali k dipanggil kecerunan garis lurus itu.

Dalam buku teks KSSM, bentuk ini ditulis sebagai y = mx + c: kecerunan ditandakan dengan huruf m dan pintasan-y dengan huruf c. Dalam artikel ini, kita mengekalkan huruf k dan q kerana huruf m di atas sudah digunakan bagi pemalar dalam persamaan garis mencancang x = m, bukan bagi kecerunan. Huruf k dan q juga digunakan dalam artikel lain tentang garis lurus di laman ini.

Contoh

Diberi garis lurus yang melalui titik A(2, 8), B(8, 10). Tentukan persamaan garis lurus itu dalam bentuk kecerunan. Bentuk kecerunan paling mudah ditentukan daripada persamaan bentuk am, jadi kita bina persamaan itu dahulu. Persamaan bentuk am ialah ax + by + c = 0, dengan (a, b) ialah vektor normal, jadi kita cari vektor normal. Komponen vektor arah ialah (8, 10) − (2, 8) = (6, 2), jadi komponen vektor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ ialah (−2, 6). Kita gantikan a = −2, b = 6 ke dalam persamaan bentuk am:

$$-2x+6y+c=0$$

Seterusnya, kita gantikan (x, y) dengan koordinat suatu titik yang pasti terletak pada garis itu, misalnya titik B(8, 10). Jadi, kita gantikan x = 8, y = 10:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Kita peroleh persamaan bentuk am

$$-2x+6y-44=0$$

Persamaan ini boleh dibahagi dengan −2 untuk mendapat bentuk yang lebih kemas:

$$x-3y+22=0$$

Bentuk kecerunan diperoleh dengan menjadikan y perkara rumus. Kita pindahkan semua sebutan lain ke sebelah kanan, kemudian bahagikan persamaan dengan tiga:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Baris terakhir ialah persamaan garis lurus dalam bentuk kecerunan. Jika kita mahu menulis pekali k, q, kita peroleh $k=\frac{1}{3},q=\frac{22}{3}$. Berikut ialah graf garis lurus itu dengan vektor arah $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan vektor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$:

Jika pekali q tidak bernilai pecahan yang janggal seperti $\frac{22}{3}$, anda akan nampak sekali pandang bahawa q ialah pintasan-y, iaitu koordinat-y titik persilangan garis lurus dengan paksi-y. Titik persilangan dengan paksi-y mempunyai koordinat-x sifar, iaitu x = 0. Jika nilai ini digantikan ke dalam persamaan $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, kita peroleh $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$. Jadi, bagi x = 0, nilai y ialah $y=\frac{22}{3}$.

Kecerunan garis lurus

Bagi persamaan garis lurus dalam bentuk kecerunan y = kx + q, nombor k dipanggil kecerunan garis lurus. Kecerunan berkait dengan sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan paksi-x positif. Perhatikan gambar rajah berikut:

Gambar rajah menunjukkan empat garis lurus dengan kecerunan k yang berbeza, tetapi pekali q = 2 yang sama. Jadi, semua garis lurus itu berbentuk y = kx + 2. Perhatikan bahawa apabila nilai kecerunan, iaitu nombor di hadapan pemboleh ubah x, berubah secara beransur-ansur, sudut antara garis lurus dengan paksi-x positif juga berubah. Misalnya, garis ungu $y=\frac{1}{2}x+2$ membentuk sudut δ dengan paksi itu, garis merah y = x + 2 membentuk sudut γ, dan garis hijau y = 2x + 2 membentuk sudut β.

Dalam kes ini, semakin besar kecerunan, semakin besar sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan paksi itu. Kecerunan garis ungu $y=\frac{1}{2}x+2$ ialah $k_1=\frac{1}{2}$, dan kecerunan garis hijau y = 2x + 2 ialah k₂ = 2, jadi k₁ < k₂. Pada masa yang sama, δ < β. Namun, kecerunan garis biru y = −2x + 2 ialah k₃ = −2. Nilai ini lebih kecil daripada semua kecerunan tadi, sedangkan sudut α ialah sudut yang paling besar.

Jelas bahawa kecerunan k mempunyai hubungan dengan sudut tersebut. Mari kita kaji hubungan ini dengan lebih teliti. Kita lukis garis ungu $y=\frac{1}{2}x+2$ sahaja dan menumpukan perhatian pada sudut δ. Kita pilih dua titik berbeza A, B pada garis itu dan membina segi tiga bersudut tegak ABC seperti dalam gambar rajah. Sudut δ dan ϵ sama saiz kerana kedua-duanya ialah sudut sepadan.

Sekarang kita akan mengungkapkan sudut ϵ dengan menggunakan tembereng garis AC dan BC. Untuk itu, kita perlu mengetahui panjang kedua-dua tembereng garis ini. Tandakan koordinat titik A dan B seperti berikut: A = (x₁, y₁) = (2, 3) dan B = (x₂, y₂) = (6, 5). Panjang tembereng garis AC sama dengan beza |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Kita ambil koordinat-x titik B, yang sama dengan koordinat-x titik C, dan tolak koordinat-x titik A daripadanya. Hasilnya ialah panjang tembereng garis AC. Kita lakukan perkara yang sama bagi tembereng garis BC, tetapi dengan koordinat-y. Jadi, |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Seterusnya, kita gunakan fungsi trigonometri, iaitu tangen. Dalam segi tiga bersudut tegak ABC, bagi sudut ϵ berlaku $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Tangen sudut ϵ ialah nisbah sisi bertentangan kepada sisi bersebelahan. Jika kita gantikan panjang kedua-dua tembereng garis, kita peroleh:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Tangen sudut ϵ, yang sama dengan sudut δ, ialah $\frac{1}{2}$. Jadi, tangen sudut antara garis lurus dengan paksi-x positif ialah $\frac{1}{2}$. Persamaan garis lurus ini pula ialah $y=\frac{1}{2}x+2$. Maksudnya, tangen sudut antara garis lurus dengan paksi-x positif sama dengan kecerunan garis itu! Hal ini bukan kebetulan dan berlaku secara umum:

Bagi garis lurus p dengan persamaan bentuk kecerunan y = kx + q, kecerunan k sama dengan tangen sudut yang dibentuk oleh garis p dengan paksi-x positif.