Teorem Pythagoras

Teorem Pythagoras mungkin teorem matematik yang paling terkenal. Anda boleh membaca tentang Pythagoras dari Samos sendiri di tempat lain. Sekarang mari kita tumpukan perhatian kepada segi tiga.

Luas segi empat sama pada sisi segi tiga

Teorem Pythagoras memberikan hubungan yang berguna antara luas segi empat sama yang dibina pada sisi-sisi segi tiga bersudut tegak. Bayangkan kita mempunyai segi tiga bersudut tegak ini:

Grid segi empat sama di latar belakang menunjukkan ukuran segi tiga. Panjang sisi AC ialah 4 dan panjang sisi BC ialah 3; kedua-duanya mengapit sudut tegak. Tetapi berapakah panjang sisi AB, iaitu hipotenus segi tiga? Sekali pandang, kita tidak dapat mengetahuinya. Namun, kita boleh cuba mengiranya.

Mula-mula, kita bina segi empat sama pada sisi BC. Maksudnya, kita bina segi empat sama yang semua sisinya sama panjang dengan sisi BC, iaitu tiga. Dalam rajah, kita melukisnya seperti ini:

Kita memperoleh segi empat sama BCDE yang semua sisinya sepanjang 3. Berapakah luas segi empat sama ini? Luas segi empat sama dikira dengan mendarabkan panjang dua sisinya, jadi luas segi empat sama BCDE ialah 3 · 3 = 9. Seterusnya, kita lukis segi empat sama pada sisi kedua yang mengapit sudut tegak, iaitu sisi AC. Segi empat sama ini mempunyai sisi sepanjang 4.

Segi empat sama ini mempunyai luas 4 · 4 = 16. Sekarang kita lukis segi empat sama yang terakhir, iaitu pada hipotenus AB:

Kita belum tahu luas segi empat sama yang baharu ini kerana kita tidak tahu panjang sisi AB. Tetapi di sinilah teorem Pythagoras sangat berguna. Teorem ini menyatakan bahawa luas segi empat sama yang terakhir, ABHI, sama dengan hasil tambah luas dua segi empat sama yang sebelumnya. Dua segi empat sama yang pertama mempunyai luas 9 dan 16, jadi mengikut teorem Pythagoras, segi empat sama yang terakhir mempunyai luas 9 + 16 = 25. Kita tandakan dalam rajah:

Sekarang hanya tinggal satu soalan: jika segi empat sama ABHI mempunyai luas 25, berapakah panjang sisinya? Panjangnya mesti punca kuasa dua bagi 25, jadi panjang sisi AB ialah $\sqrt{25}=5$. Jika kita menyemak semula dengan mengira luas segi empat sama bersisi 5, kita memperoleh 5 · 5 = 25. Sekarang kita boleh beralih kepada nombor dan takrif.

Takrif

Teorem Pythagoras menyatakan lebih kurang seperti ini: “Luas segi empat sama pada hipotenus segi tiga bersudut tegak sama dengan hasil tambah luas segi empat sama pada dua sisi yang lain.” Secara matematik, teorem ini biasanya ditulis seperti ini:

$$c^2=a^2+b^2,$$

dengan a dan b ialah panjang dua sisi yang mengapit sudut tegak dalam segi tiga dan c ialah panjang hipotenus.

Jadi, apakah yang dinyatakan oleh teorem Pythagoras, dan apakah kaitan tatatanda ini dengan rajah tadi? Luas segi empat sama pada sisi segi tiga bermaksud kita mengambil segi empat sama yang panjang sisinya sama dengan sisi segi tiga itu dan mengira luasnya. Luas segi empat sama dikira dengan mendarabkan panjang satu sisi dengan panjang sisi yang lain. Jadi, jika sisi itu mempunyai panjang c, luasnya L ialah: L = c · c, yang boleh ditulis dengan kuasa sebagai L = c².

Oleh itu, tatatanda c² = a² + b² boleh dibaca sebagai “luas segi empat sama bersisi c sama dengan hasil tambah luas segi empat sama bersisi a dan b”.

Sekali lagi, perlu ditegaskan bahawa teorem ini hanya berlaku dalam segi tiga bersudut tegak, bukan dalam sebarang segi tiga. Teorem Pythagoras biasanya digunakan apabila panjang dua sisi diketahui dan panjang sisi ketiga perlu dikira. Jika kita tahu panjang kedua-dua sisi a dan b yang mengapit sudut tegak dan ingin mencari panjang hipotenus c, kita kira luas segi empat sama pada kedua-dua sisi itu, iaitu a² + b². Hasilnya ialah luas segi empat sama pada hipotenus c, iaitu c². Untuk memperoleh panjang sisi c, kita hanya perlu mencari punca kuasa dua bagi luas itu. Kita memperoleh rumus:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

dengan c ialah panjang hipotenus dan a, b ialah panjang dua sisi yang lain. Sebaliknya, jika kita tahu panjang hipotenus dan satu sisi lain, dan ingin mengira panjang sisi yang ketiga, caranya sama, cuma kita perlu menjadikan sisi itu perkara rumus dahulu. Jadi, jika kita tahu c dan b dan ingin mengira a, dalam persamaan

$$c^2=a^2+b^2,$$

kita asingkan a² dengan menolak b²:

$$c^2-b^2=a^2,$$

kita tukar kedudukan sebelah kiri dan sebelah kanan:

$$a^2=c^2-b^2$$

dan akhir sekali kita cari punca kuasa dua:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Contoh pertama

Katakan kita mempunyai segi tiga ABC dengan panjang dua sisi yang diketahui: a = 3 dan b = 4. Segi tiga ini sama dengan segi tiga pada awal artikel. Soalannya, berapakah panjang sisi yang tinggal, iaitu sisi c? Mari kita kira menggunakan rumus tadi. Segi tiga itu ditunjukkan dalam rajah berikut:

Kita tahu panjang dua sisi yang mengapit sudut tegak, dan panjang hipotenus belum diketahui. Oleh itu, kita gunakan rumus pertama yang belum diubah:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Kita gantikan pemboleh ubah a dan b dengan panjang sisi:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

Rumus ini mengandungi kuasa dua. Sebagai peringatan, hubungan berikut berlaku:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Jadi, selepas mengira kuasa dua, kita memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Maka, panjang sisi c ialah lima.

Contoh kedua

Dalam contoh ini, kita akan mengira panjang salah satu sisi yang mengapit sudut tegak apabila panjang sisi yang satu lagi dan panjang hipotenus diketahui. Katakan kita mempunyai segi tiga ABC dengan panjang sisi |AC| = 10 dan |BC| = 6. Segi tiga ini ditunjukkan dalam rajah berikut:

Daripada rajah, kita lihat bahawa hipotenus, iaitu sisi yang paling panjang, ialah sisi |AC|. Kita perlu mengira panjang sisi |AB|. Kita gunakan rumus kedua untuk mengira panjang sisi yang mengapit sudut tegak:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Untuk menggunakan teorem Pythagoras dengan betul, kita perlu faham maksud setiap pemboleh ubah. Dalam rumus ini, pemboleh ubah a ialah panjang sisi yang ingin dikira, dalam kes kita sisi |AB|. Pemboleh ubah c ialah panjang hipotenus, iaitu sisi yang paling panjang, dalam kes kita sisi |AC|. Pemboleh ubah b pula ialah panjang sisi yang diketahui, dalam kes kita |BC|. Oleh itu, kita gantikan seperti berikut:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Kita gantikan panjang sisi yang diketahui:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Kita kira kuasa dua dan tolak:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Akhir sekali, kita cari punca kuasa dua:

$$|AB|=8$$

Panjang sisi |AB| ialah lapan.

Soalan penyelesaian masalah

Bayangkan anda berjalan ke rumah kawan anda di sepanjang jalan yang lurus. Jalan itu sepanjang 250 meter. Selepas suku kilometer itu, anda membelok ke kiri dan berjalan 100 meter lagi, lalu sampai di rumah kawan baik anda. Soalannya, berapakah jarak yang dapat dijimatkan jika anda berjalan terus merentasi padang?

Langkah pertama, kita kira jarak perjalanan jika anda mengikut jalan. Anda berjalan 250 meter lurus dan kemudian 100 meter ke kiri. Jumlahnya 250 + 100 = 350 meter. Sekarang kita kira jarak perjalanan merentasi padang. Untuk itu, kita memerlukan rajah.

Satu petak dalam rajah mewakili 50 meter. Bagaimanakah rupa jalan terus merentasi padang? Jalan itu ialah tembereng garis dari titik A ke titik C. Kita lukisnya dengan warna merah dalam rajah.

Kini jelas bahawa untuk mengira jarak merentasi padang, kita hanya perlu menggunakan teorem Pythagoras dengan betul. Kita mencari panjang hipotenus dan kita tahu panjang kedua-dua sisi yang lain, jadi kita gunakan rumus pertama seperti berikut:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Kita gantikan panjangnya:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Kita kira kuasa dua:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Kita cari punca kuasa dua dan bundarkan:

$$|AC|=269$$

Jarak merentasi padang ialah 269 meter. Soalan belum selesai kerana soalannya ialah berapa lebih pendek jalan merentasi padang. Jadi, kita tolak kedua-dua jarak dan menandakan bezanya dengan r:

$$r=350-269=81$$

Jawapannya, jalan itu lebih pendek lebih kurang 81 meter.

Panjang sisi segi empat sama

Berapakah panjang sisi segi empat sama yang pepenjurunya sepanjang sepuluh? Bagaimanakah teorem Pythagoras dapat membantu? Kita perlu mencari segi tiga bersudut tegak di dalam segi empat sama yang boleh digunakan untuk mengira panjang sisi segi empat sama. Sebagai peringatan: segi empat sama mempunyai empat sisi yang sama panjang. Mari kita lakarkan keadaannya:

Kita lihat bahawa di dalam segi empat sama itu kini terdapat dua segi tiga yang mempunyai sudut tegak, dan kita boleh menggunakannya untuk mengira panjang sisi. Ambil, misalnya, segi tiga BCD. Sisi DB ialah hipotenus, manakala dua sisi yang lain mengapit sudut tegak. Kita tidak tahu panjang kedua-dua sisi itu, tetapi kita tahu panjang hipotenus. Kedua-dua sisi itu sama panjang, iaitu |BC| = |CD|. Kita gunakan teorem Pythagoras yang asas:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Oleh sebab kedua-dua sisi itu sama, kita hanya perlu mengira kuasa dua satu sisi dan mendarabkannya dengan dua. Kita tidak perlu mengira kuasa dua kedua-dua sisi kerana hasilnya sama. Jadi, kita boleh menulis:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

Kita tahu panjang sisi BD, iaitu hipotenus. Panjangnya sepuluh. Kita gantikan ke dalam persamaan:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

Kita kira kuasa dua bagi sepuluh:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

Kita bahagikan dengan dua:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Kita permudahkan pecahan:

$$50=|BC{|}^2$$

Kita hampir sampai. Kita tahu bahawa kuasa dua panjang sisi segi empat sama ialah 50. Untuk mencari panjang sisi, kita perlu mencari punca kuasa dua bagi kedua-dua belah persamaan. Hal ini dibenarkan kerana kita hanya berurusan dengan nombor positif:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

Kita biarkan punca kuasa dua bagi lima puluh dalam bentuk ini. Di sebelah kanan persamaan, punca kuasa dua dan kuasa dua saling membatalkan.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Jika anda mahu, anda juga boleh mengira punca kuasa dua bagi lima puluh. Selepas dibundarkan, hasilnya tujuh:

$$7=|BC|$$

Jadi, panjang sisi segi empat sama itu lebih kurang tujuh, atau tepatnya punca kuasa dua bagi lima puluh.

Kalkulator

Anda boleh mengira hipotenus daripada dua sisi yang lain, atau satu sisi daripada hipotenus dan sisi yang satu lagi. Unit bagi setiap medan boleh ditukar.