Rekenen met procenten

Procenten geven meestal een relatief deel van een geheel aan, waarbij het geheel zelf wordt uitgedrukt als 100%. Procenten kun je altijd herschrijven als breuk.

Procenten als deel van een geheel

Procenten gebruiken we als we een deel van een geheel willen uitdrukken. Met procenten kunnen we uitdrukkingen vervangen als “een kwart van de klas heeft een onvoldoende” of “één op de twee mensen is een man”. We hebben altijd een geheel, bijvoorbeeld de hele klas leerlingen, en daarna zeggen we dat een kwart daarvan een onvoldoende heeft. Als er 32 leerlingen in de klas zitten en een kwart daarvan heeft een onvoldoende, dan is het totale aantal leerlingen met een onvoldoende gelijk aan:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{en dat is hetzelfde als}\frac{32}{4}=8$$

In het tweede geval kunnen we een stad hebben, laten we zeggen Doetinchem. Die heeft ongeveer 60 000 inwoners. Als één op de twee inwoners een man is, betekent dat dat de helft van hen mannen zijn, en dat schrijven we als:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{en dat is hetzelfde als}\frac{60000}{2}=30000$$

Verder zouden we kunnen zeggen dat “één op de honderd inwoners van Doetinchem wiskundige is”. Dan zouden we in Doetinchem $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$ wiskundigen hebben. “Eén op de honderd” is hetzelfde als “een honderdste deel van de inwoners”.

Nu kunnen we het begrip procent invoeren. Een procent, geschreven als 1%, is een honderdste deel van het geheel. Dat betekent dat als we zeggen dat “één op de honderd inwoners van Doetinchem wiskundige is” en “één procent van de mensen in Doetinchem is wiskundige”, we daarmee hetzelfde zeggen. Eén procent van een geheel reken je uit door het geheel te vermenigvuldigen met $\frac{1}{100}$ of te delen door 100, dat is hetzelfde.

Procenten kunnen we gemakkelijk omzetten in breuken en daarmee verder werken. Als we zouden zeggen dat “in Doetinchem x% van de mensen donker haar heeft”, dan is dat hetzelfde als zeggen “in Doetinchem hebben $\frac{x}{100}\cdot 60000$ mensen donker haar”. 100% is dan het geheel, dus alle inwoners. De zin “100% van de leerlingen is overgegaan” betekent dat alle leerlingen zijn overgegaan. De zin “0% van de leerlingen is blijven zitten” zegt dat niemand is blijven zitten. Voorbeelden:

1. 35% van de inwoners van Doetinchem reist met de bus. Hoeveel mensen reizen met de bus? 35 % is hetzelfde als $\frac{35}{100}$ van het geheel (= “vijfendertig honderdste van het geheel”). We rekenen dus: $\frac{35}{100}\cdot 60000$. Dat kun je eenvoudig uitrekenen door eerst 60 000 door honderd te delen en die uitkomst met 35 te vermenigvuldigen. Eigenlijk doen we deze omvorming:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60000=\frac{35\cdot 60000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21000$$

   Je kunt het je ook zo voorstellen dat we eerst uitrekenen hoeveel inwoners bij één procent horen: $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$. Bij één procent horen 600 inwoners. Wij willen 35% van de inwoners weten, dus die 600 inwoners vermenigvuldigen we nog met 35: 35 · 600 = 21 000.

2. Het gemiddelde dagloon van Daan is € 200. Vandaag verdiende hij maar 75% van zijn gemiddelde loon. Hoeveel verdiende Daan? De werkwijze blijft hetzelfde. Het geheel is 200 en 75% zetten we om in de breuk $\frac{75}{100}$. Deze breuk kunnen we nog vereenvoudigen tot de breuk $\frac{3}{4}$. We vermenigvuldigen het geheel met deze breuk:

   $$\frac{3}{4}\cdot 200=\frac{3\cdot 200}{4}=3\cdot 50=150$$

3. De volgende dag was Daan weer helemaal in zijn element en verdiende hij 150% van zijn gemiddelde loon. Hoeveel verdiende hij? Kunnen we wel meer dan 100% hebben, als we zeiden dat 100% het geheel is? Ja, dat kan. Net zoals iemand “drie keer zoveel geld kan verdienen als gemiddeld”, kan iemand 150% van zijn gemiddelde verdienen.

   We gaan precies hetzelfde te werk. 150% zetten we om in de breuk $\frac{150}{100}$ en daarmee vermenigvuldigen we Daans gemiddelde loon, dus 200:

   $$\frac{150}{100}\cdot 200=\frac{150\cdot 200}{100}=\frac{150\cdot 2}{1}=150\cdot 2=300$$

Procenten met een verhoudingstabel

Een deel van een geheel dat met procenten is uitgedrukt, kunnen we eenvoudig omzetten in een verhoudingstabel. We blijven bij Daan, die gemiddeld € 200 per dag verdient en vandaag 75% van zijn gemiddelde loon verdiende. Met een verhoudingstabel kunnen we dat namelijk zo opschrijven:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 200\text{ euro}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ euro}\end{array}$$

Omdat het om een recht evenredig verband gaat, krijgen we de vorm:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{200}$$

We vermenigvuldigen de vergelijking met 200 en krijgen:

$$\frac{75\cdot 200}{100}=x$$

En hieruit kunnen we de uitkomst gemakkelijk uitrekenen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 200}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 2}{1}& =& x\\ x& =& 75\cdot 2\\ x& =& 150\end{array}$$

We zien dat we hetzelfde getal hebben gekregen.

En als we het deel kennen en het geheel niet?

In de voorgaande voorbeelden gingen we er steeds van uit dat we de precieze waarde van het geheel kennen en daar een bepaald deel in procenten van moeten uitrekenen. Maar wat als we juist het deel kennen en het geheel niet? Voorbeeld: Daan heeft 120 verzamelkaartjes met een groot groen monster. Maar ook al is dat een respectabel aantal kaartjes met groene monsters, hij heeft nog steeds maar zestig procent van de kaartjes van Julia. Hoeveel kaartjes heeft Julia?

Hier kennen we het deel, maar het geheel niet — dat moeten we nog uitrekenen. Op dit moment weten we dat 120 kaartjes overeenkomen met 60% van de kaartjes die Julia heeft. Om te weten te komen hoeveel kaartjes bij één procent horen, hoeven we die honderdtwintig alleen door zestig te delen. We krijgen een twee: 120/60 = 2. Eén procent van de kaartjes zijn in werkelijkheid twee kaartjes met groene monsters. Omdat we het geheel uitrekenen — en dat is altijd 100% — vermenigvuldigen we dit aantal kaartjes met honderd. En we hebben 200 kaartjes, en dat is de juiste uitkomst.

We kunnen het controleren door 60% van 200 uit te rekenen: we vermenigvuldigen gewoon

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

We zien dat 60% van 200 gelijk is aan 120, en dat is precies het aantal kaartjes met het groene monster dat Daan heeft.

Procenten optellen

Als we een som moeten uitrekenen waarin procenten voorkomen, is het altijd het beste om in plaats van procenten de precieze waarden uit te rekenen en die daarna op te tellen. De opgave kan dus ongeveer zo luiden: Thijs verdient € 1500, Bram € 2000 en Lotte € 2500 per maand. Bereken nu hoeveel euro Sophie per maand verdient, die 30% verdient van wat Thijs verdient plus 40% van wat Bram verdient plus 25% van wat Lotte verdient.

Hier hebben we drie uitdrukkingen met procenten, maar elke uitdrukking komt van een ander geheel. Thijs, Bram en Lotte verdienen elk een ander bedrag. Eerst rekenen we dus 30% van het salaris van Thijs uit. Eén procent is 1500/100 = 15. Vervolgens vermenigvuldigen we 15 · 30 en krijgen 450. Daarna is 40% van het salaris van Bram aan de beurt. Eén procent is 2000/100 = 20. Weer vermenigvuldigen we met 40 en we hebben 20 · 40 = 800. Het laatste deel is 25% van Lotte. Zij verdient 2500, daarvan is één procent 2500/100 = 25. Door te vermenigvuldigen met 25 krijgen we 25 · 25 = 625. Nu hoeven we alleen alle deeluitkomsten nog op te tellen: 450 + 800 + 625 = 1875. Sophie verdient € 1875, en dat is een mooi bedrag.

Het kan echter gebeuren dat we echt procenten gaan optellen. Procenten kunnen we alleen optellen als ze dezelfde basis hebben, hetzelfde geheel. Als Sem bijvoorbeeld 20% verdient van wat Bram verdient plus 30% van wat Bram verdient, kunnen we die procenten optellen, omdat het dezelfde basis is — beide uitdrukkingen rekenen met het basissalaris van Bram. De uitkomst is dus 20% + 30% = 50%. Sem verdient de helft van wat Bram verdient, duizend euro.

Verraderlijk: gestapelde procenten

Stel je nu de volgende situatie voor: Finn verdiende het eerste jaar € 2000 per maand. Het tweede jaar kreeg hij opslag en werd zijn salaris met 30% verhoogd. Het derde jaar kreeg hij weer opslag en weer werd zijn salaris verhoogd, hoewel nu maar met 10%. De vraag is wat Finns salaris nu is.

Dit soort opgaven nodigt er sterk toe uit de procenten gewoon op te tellen, net als in het vorige geval. Het lijkt immers nog steeds alsof we met dezelfde basis rekenen, met Finns salaris. Dus rekenen we 30% + 10% uit en tellen dat op bij zijn basissalaris. Finn zou dan € 2800 verdienen. Maar zo is het niet. We lopen het na.

In het eerste jaar kreeg hij 2000. In het tweede jaar kreeg hij 2000 + 30%. Dat is 2600, zoals je zelf vast al hebt uitgerekend. En nu werd in het volgende jaar zijn salaris met tien procent verhoogd. Maar let op! De basis is niet meer die tweeduizend die hij het eerste jaar had. De basis is nu zesentwintighonderd! En zoals we weten, kunnen we procenten alleen optellen als ze van dezelfde basis worden berekend. En in ons geval is de basis verschillend. De eerste keer was het 2000 en nu is het 2600. Het laatste jaar kreeg Finn dus 2600 + 10%, en dat is 2860.

De oplossing met 2800 was dus fout, en bovendien hebben we de arme Finn € 60 laten mislopen. Wees niet gemeen tegen Finn!

Koop een wiskundeboek met korting!

Een klassiek voorbeeld is ook dat met een korting. Stel je voor dat ze in de winkel een wiskundeboek hebben waarvan je heel graag wilt dat je het voor je verjaardag krijgt. Wat zou je trouwens anders willen, toch? :-)

Vlak voor de feestdagen verhoogt de winkel de prijs van het boek echter met 20 %. Je zegt tegen jezelf dat je toch maar wacht en het na de feestdagen koopt. Dat was verstandig, want na de feestdagen verlaagde de winkel de prijs van het boek met 20 %. De vraag is — kost het boek hetzelfde als vóór de verhoging? Of kost het meer of minder?

Het gezonde verstand van sommige mensen zegt opnieuw dat het boek hetzelfde zal kosten, maar dat klopt niet. Laten we het uitrekenen. Stel dat het boek € 30 kostte. Een prijsverhoging van 20% betekent dat het boek $\frac{20}{100}\cdot 30=6$ euro duurder werd. Het boek kostte dus € 36.

Maar 20% korting wordt niet meer berekend van de basis 30, maar van de basis 36! Dat betekent dat het boek $\frac{20}{100}\cdot 36=7,2$ euro goedkoper wordt. Het boek kost met korting € 28,80.

(Maar eerlijk gezegd, wie zou er nu een wiskundeboek kopen, als Wiskunde, gewoon uitgelegd er voor je is ;-))

Promille

Promille wordt meestal gebruikt bij het meten van alcohol in het bloed van een bestuurder. Sommige mensen denken ten onrechte dat promille een duizendste van een procent is, maar dat is fout, pas daarvoor op. Promille is een duizendste deel van het geheel. Verder reken je met promille precies hetzelfde als met procenten. Als je x promille van 5000 wilt weten, reken je dat uit als $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. In plaats van 100 staat in de noemer van de breuk 1000. Drie promille van 5000 is dus $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Promille schrijven we met het symbool ‰. Er geldt dus $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Meer in een apart artikel over promille.

Typografie van procenten

In het Nederlands schrijven we het procentteken direct achter het getal: “100%”, zonder spatie (zo staat het ook in de examens van het CvTE). In sommige technische teksten volgens de norm staat er wel een spatie, “100 %”, maar die schrijfwijze gebruiken we hier niet. In een samenstelling krijg je een streepje, zoals bij een “95%-betrouwbaarheidsinterval”. Denk daaraan als je schrijft, en wind je niet te veel op als het in de krant weer eens anders staat :-).

Procentpunt

Naast gewone procenten kunnen we ook procentpunten hebben. Wat is het verschil? Stel je voor dat de browser Firefox twee jaar geleden door 20 % van de mensen werd gebruikt, maar dit jaar al door 30% van de mensen. Hoe groot is de toename tussen deze twee jaren? Het zou fout zijn om te zeggen dat de toename tien procent is. Als Firefox eerst door 20% van de mensen werd gebruikt en daarna door 30%, dan betekent dat dat hij nu door de helft meer mensen wordt gebruikt dan eerst. Dat is een toename van 50%.

Maar het is weer een beetje onhandig om te zeggen dat de toename 50% is, terwijl het voor iedereen begrijpelijker zou zijn als we zouden zeggen dat het aantal procenten met tien is gestegen. En daar hebben we precies procentpunten voor. In dit geval kunnen we zeggen dat de toename in het gebruik van de browser Firefox tien procentpunt bedraagt. Procentpunten kunnen we gebruiken als we een eenvoudig verschil tussen twee percentages willen uitdrukken.