Enhetsmetoden

Enhetsmetoden brukes ved enkle utregninger med direkte og omvendt proporsjonalitet. Som regel kjenner vi tre størrelser som henger sammen, og skal regne ut den fjerde. Med denne metoden må vi skille nøye mellom direkte og omvendt proporsjonalitet, for de har ulike utregninger.

Motivasjon

Du går i butikken for å kjøpe inn brus. For 100 kroner kjøpte du 5 flasker brus. Hvor mange flasker ville du kjøpt hvis du hadde hatt 200 kroner? Dette er et typisk eksempel som kan løses med enhetsmetoden.

Her kan vi gjøre en enkel overveielse — i det første tilfellet hadde vi 100 kroner til rådighet, i det andre 200 kroner. Vi kan derfor vente at hvis vi har dobbelt så mange kroner, kjøper vi dobbelt så mange flasker. For 200 kroner ville vi altså kjøpt 2 · 5 = 10 flasker brus.

Den forrige tankegangen «jo mer… desto mer» er ikke helt selvsagt, for vi kan ha følgende eksempel: 10 murere bygger et hus på fire måneder. Hvor lang tid bruker 20 murere på å bygge huset? Hvis vi bruker den forrige tankegangen — det er dobbelt så mange murere, så det blir dobbelt så mange måneder — får vi at 20 murere ville bygget huset på 2 · 4 = 8 måneder.

Denne framgangsmåten er selvsagt ikke riktig, for jo flere murere, desto færre måneder trenger de for å bygge huset. Vi må gå fram motsatt: dobbelt så mange murere bygger huset på halvparten så mange måneder. Da får vi det riktige resultatet: 20 murere bygger huset på 4/2 = 2 måneder.

De to ulike framgangsmåtene har også sine navn: direkte og omvendt proporsjonalitet.

Direkte proporsjonalitet

Hvis det gjelder at «jo mer… desto mer», er det direkte proporsjonalitet. Eksempler:

• Jo mer penger vi har, desto flere brusflasker/agurker/sparkesykler kan vi kjøpe.
• Jo flere artikler en journalist skriver, desto mer penger tjener han.
• Jo flere graver som graver, desto mer får de gravd ut.
• Jo lenger vi lar pumpen gå, desto mer vann pumper vi ut.

Eksempel: En bil bruker 6 liter bensin på 100 kilometer. Hvor mange liter bensin bruker den etter å ha kjørt 250 kilometer? Dette er et eksempel på direkte proporsjonalitet, fordi jo lenger bilen kjører, desto mer bensin bruker den.

Framgangsmåte: Først skriver vi opp det vi kjenner. Vi bruker følgende tabell, som gir oss oversikt over hva vi kjenner og hva vi vil regne ut:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\end{array}$$

I den første raden har vi skrevet opp opplysningene vi kjenner helt. I den andre raden har vi på høyre side en opplysning vi ikke kjenner, og på venstre side opplysningen vi vil regne ut den ukjente for. I kolonnene må det alltid stå samme type opplysninger, i dette tilfellet må det i en kolonne alltid stå enten kilometer eller liter.

Det finnes et hjelpemiddel som hjelper deg å regne ut dette eksempelet. Først tegner du en pil fra bunn til topp til høyre, slik:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

Hvis det er direkte proporsjonalitet, tegner vi samme pil til venstre, fra bunn til topp:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

I neste trinn lager vi brøker av kolonnene i pilenes retning. Telleren er tallet der pilen begynner, og nevneren er tallet der pilen slutter. Disse brøkene setter vi lik hverandre. Fra den første kolonnen (kilometer) får vi brøken $\frac{250}{100}$ og fra den andre (liter) brøken $\frac{x}{6}$. Skrevet som likning:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Dette er en vanlig lineær likning som vi kan løse med ekvivalente omforminger. Vi multipliserer hele likningen med seks, og da blir vi kvitt brøken på høyre side:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Nå regner vi bare ut x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Resultatet er at bilen etter å ha kjørt 250 kilometer bruker 15 liter bensin.

Omvendt proporsjonalitet

Hvis det gjelder at «jo mer … desto mindre», er det omvendt proporsjonalitet. Eksempler:

• Jo flere som deler en pizza, desto mindre stykke får hver enkelt.
• Jo raskere internett vi har, desto tidligere har vi lastet ned en film.
• Jo fortere vi kjører, desto tidligere kommer vi fram.
• Jo flere arbeidere som jobber på et hus, desto tidligere er huset ferdig.

Eksempel: På datamaskinen din har du internett med en hastighet på 2 MB per sekund, og du lastet ned en film på 450 sekunder. Hvor lang tid ville det tatt å laste ned den samme filmen hvis du hadde internett med en hastighet på 6 MB per sekund?

Framgangsmåten blir den samme som ved direkte proporsjonalitet — vi skriver opplysningene inn i en oversiktlig tabell:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ sekunder}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ sekunder}\end{array}$$

Nå pilene. Den høyre pilen går igjen fra bunn til topp, her endres ingenting. Men siden dette er omvendt proporsjonalitet, går den venstre pilen i motsatt retning, fra topp til bunn.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ sekunder}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ sekunder}\uparrow \end{array}$$

Resten av framgangsmåten er den samme — vi lager brøker av denne tabellen, igjen i pilenes retning. Vi får brøkene $\frac{2}{6}$ og $\frac{x}{450}$, som vi setter lik hverandre:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Vi multipliserer likningen med 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Og regner ut x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Filmen laster vi ned på 150 sekunder med den raskere tilkoblingen.

Legg merke til at framgangsmåten stemmer med intuisjonen. I det siste trinnet dividerer vi 450 med tre, og det er som forventet. Hastigheten øker fra 2 MB/s til 6 MB/s, altså har vi tre ganger så stor hastighet. Derfor ville vi forvente at tiden det tar å laste ned filmen, blir tre ganger mindre → og akkurat det uttrykker brøken $\frac{450}{3}$.

Eksempler

Første eksempel: Et rom på et luksushotell koster tjueen tusen kroner for sju netter. Hvor mye koster det samme rommet hvis vi vil bo der i tolv netter?

Først skriver vi opplysningene inn i en tabell:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ netter}& \dots & 21000\text{ kroner}\\ 12\text{ netter}& \dots & x\text{ kroner}\end{array}$$

Nå må vi bestemme om det er direkte eller omvendt proporsjonalitet. Gjelder det at jo lenger vi bor der, desto mindre betaler vi? Nei, det motsatte gjelder — jo lenger vi bor der, desto mer betaler vi. Det er altså direkte proporsjonalitet. Vi tegner inn pilene:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ netter}& \dots & 21000\text{ kroner}\\ \uparrow 12\text{ netter}& \dots & x\text{ kroner}\uparrow \end{array}$$

Med pilene lager vi brøker:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{21000}$$

Vi løser likningen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{21000}\\ 21000\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 21000\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{21000\cdot 12}{7}\\ x& =& 36000\end{array}$$

Rommet ville koste oss 36 000 kroner for 12 netter.

Andre eksempel: 10 sesongarbeidere plukker jordbær og plukker 50 kilo jordbær om dagen. Hvor mange kilo jordbær plukker 7 sesongarbeidere om dagen?

Vi skriver opplysningene inn i en tabell:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ arb.}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ arb.}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Er det direkte eller omvendt proporsjonalitet? I dette eksempelet er det en liten felle, for i motsetning til de forrige eksemplene har vi i raden med den ukjente færre arbeidere enn i den første raden. La deg ikke forvirre av det, det er fortsatt direkte proporsjonalitet, for jo flere arbeidere, desto flere plukkede jordbær. Eller omvendt — jo færre arbeidere, desto færre jordbær. Det er også direkte proporsjonalitet. Begge pilene går altså fra bunn til topp.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ arb.}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ arb.}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Vi lager brøker:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

og regner ut x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Sju arbeidere plukker 35 kilo jordbær om dagen.

Tredje eksempel: Den gjennomsnittlige skrittlengden til Jakob er 80 cm. På veien hjem fra skolen telte han at han tok 1300 skritt. Hvor mange skritt ville han tatt hvis hvert skritt var en hel meter?

Først tabellen. Pass på at vi i oppgaven har 80 cm og én meter. I tabellen trenger vi opplysningene i samme enhet, så i stedet for én meter bruker vi 100 cm — vi kunne også valgt motsatt framgangsmåte og skrevet 1 meter og 0,8 meter.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ skritt}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ skritt}\end{array}$$

Og hvilken proporsjonalitet er det? Jo lengre skritt vi har, desto færre skritt trenger vi for å dekke en bestemt avstand, så dette er omvendt proporsjonalitet. Den venstre pilen går fra topp til bunn, den høyre fra bunn til topp.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ skritt}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ skritt}\uparrow \end{array}$$

Brøkene ser slik ut:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Vi isolerer og regner ut x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Jakob ville trengt bare 1040 skritt for den samme avstanden.

Formler

Som vi ser av de forrige utregningene, er framgangsmåtene alltid de samme og fører til enkle formler. Først skriver vi tabellen symbolsk:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Da gjelder disse formlene. For direkte proporsjonalitet:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Og for omvendt proporsjonalitet:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$