Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av brøker

Med en brøk kan vi skrive hvilket som helst rasjonalt tall. En brøk består av to deler. Den øverste delen kalles teller og den nederste nevner. Det finnes også dobbeltbrøker, som ikke er noe annet enn en brøk som har en ny brøk i telleren eller nevneren. Og forresten skrives alle tegn mellom brøker (pluss, minus, er lik osv.) alltid på høyde med brøkstreken, ikke på høyde med telleren eller nevneren. Og for øvrig, visste du at fem av fire personer har problemer med brøker?

Grunnleggende informasjon

En brøk har følgende form:

$$\frac{\text{teller}}{\text{nevner}}$$

Et eksempel på en brøk er brøken

$$\frac{2}{5},$$

altså to femdeler. Nevneren heter nevner fordi den gir brøken navn. Femdel, tredel, sjettedel… det er hovednavnet på brøken, og det er avledet av tallet som står under brøkstreken. Telleren bestemmer derimot antallet, i det forrige eksempelet var det to femdeler. Så mye om navnene.

I både teller og nevner kan det i prinsippet stå hvilket som helst tall eller igjen en brøk, men oftest møter vi brøker der både teller og nevner er et naturlig tall.

En brøk er bare en annen måte å skrive divisjon på, og verdien av brøken regner vi ut ved å dividere telleren med nevneren. Generelt, hvis vi har brøken $\frac{a}{b}$, er verdien av brøken tallet a/b. Den forrige brøken (to femdeler) har da verdien 2/5, som er 0,4.

Å skrive brøken på enkleste form

Vi kan jobbe med brøker på mange måter og endre formen deres — utvide dem og forkorte dem —, uten at verdien av brøken endres. Vi kan lett forestille oss det med ord, for eksempel har en halv samme verdi som to firedeler eller fire åttedeler. Det kommer av at en brøk bare er en forkledd divisjon. Og vi kan komme til tallet en halv ved å dele flere ulike tall. Fire delt på åtte er en halv. Ti delt på tjue er også en halv. Derfor har brøkene

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

samme verdi.

Som vi ser, kom vi fram til de andre brøkene med samme verdi ved å multiplisere både telleren og nevneren i den opprinnelige brøken 1/2 med to. Etter multiplikasjonen fikk vi brøken 2/4, to firedeler. Hvis vi også multipliserer telleren og nevneren i denne brøken med to, får vi brøken 4/8, fire åttedeler. Da utvidet vi brøken.

Den omvendte operasjonen av utviding er forkorting av brøker, der vi dividerer både telleren og nevneren med det samme tallet. Hvis vi vil forkorte en brøk, må vi finne et tall som både telleren og nevneren er delelig med uten rest. Forkorting av brøker brukes veldig ofte i praksis, fordi brøken blir mye enklere å jobbe med når den er forkortet. Hvis vi har brøken 12/18, ser vi med et raskt blikk at begge tallene er partall, altså delelige med to. Vi kunne selvsagt forkortet brøken med to, men ved et nytt blikk ser vi at både telleren og nevneren også er delelige med seks. Hvis vi forkorter brøken med seks, får vi en enklere brøk enn om vi bare hadde forkortet med to. Derfor forkorter vi brøken med seks. Vi får brøken 2/3.

Denne brøken kan ikke forkortes mer, det finnes ikke noe tall (større enn én) som vi kan dividere både telleren og nevneren med uten rest. Om en brøk som ikke kan forkortes mer, sier vi at den er uforkortelig, eller at den står på enkleste form. Prøv alltid å jobbe med brøker på enkleste form. Når du jobber med brøker, bør du først se om noen av dem kan forkortes. Da sparer du tid. Enda et eksempel:

$$\frac{24}{42}$$

Hvilket tall er både 24 og 42 delelige med? Begge er partall, så i hvert fall med to. Vi dividerer både telleren og nevneren med to:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Finnes det et tall som går opp i begge tallene? Ja, denne gangen tre.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Finnes det fortsatt et tall som går opp i både teller og nevner? Nei, brøken står på enkleste form.

Multiplikasjon av brøker

Du blir kanskje overrasket, men multiplikasjon og divisjon er enklere med brøker enn addisjon og subtraksjon. Hvis du skal multiplisere to brøker, multipliserer du rett og slett telleren i den første brøken med telleren i den andre og nevneren med nevneren. Det er alt. Et eksempel på multiplikasjon av brøker:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Ved multiplikasjon av brøker finnes det i tillegg en annen måte å forkorte på. Du trenger ikke bare forkorte innenfor én brøk, men kan forkorte på kryss. Hvis telleren i den første brøken kan forkortes mot nevneren i den andre brøken, kan du gjøre det og gjøre multiplikasjonen enklere. Eksempel (tallene som forkortes, er uthevet):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Hva gjorde vi? Vi dividerte både fireren og åtteren med fire. Verdien av produktet forble uendret. Hvis vi ikke hadde forkortet nå, kunne vi ha forkortet først etter multiplikasjonen.

Multiplikasjon av en brøk med et heltall gjør du enkelt om til multiplikasjon av to brøker ved å skrive heltallet c som c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Som vi ser, er det nok å multiplisere telleren i brøken med heltallet når du multipliserer en brøk med et heltall.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Divisjon av brøker

Divisjon av brøker er nesten det samme som multiplikasjon. Hvis du vil dividere en brøk med en annen, snur du den andre brøken (divisoren) og multipliserer brøkene vanlig. Et enkelt eksempel på divisjon av brøker (legg merke til at vi kan forkorte 12 og 6 etter at brøken er snudd):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Vi gjorde divisjonen om til multiplikasjon ved å snu brøken $\frac{6}{11}$ til brøken $\frac{11}{6}$ og multiplisere med den andre, uendrede brøken. Hvorfor fungerer det slik? Det er nok å forestille seg et enklere eksempel, for eksempel divisjon med en halv. Hvis vi deler

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

hva er det vi egentlig gjør? Vi finner ut hvor mange ganger en halv går opp i ti. En halv går nøyaktig to ganger opp i én hel (to ganger en halv er én), så i ti går den tjue ganger. Vi kommer til samme resultat når vi multipliserer to ganger ti — også tjue. Og hvilken verdi får vi når vi snur en halv? To enheter, altså to.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Til slutt har vi altså:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Addisjon av brøker

Addisjon av brøker er litt mer komplisert. Vi kan nemlig bare legge sammen brøker som har samme nevner. Hvis brøkene ikke har samme nevner, må vi gjøre dem om til brøker med samme nevner. Deretter går vi fram på en enkel måte, nesten som ved multiplikasjon: vi legger rett og slett sammen telleren i den første brøken og telleren i den andre. I motsetning til ved multiplikasjon beholder vi den felles nevneren. Først et eksempel på addisjon av brøker med samme nevner:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Gir dette mening? En halv pluss fem halve er lik seks halve — det gir ganske god mening.

Hvis brøkene ikke har samme nevner, noe som er det vanligste, må vi finne en fellesnevner, og det betyr å utvide en av brøkene eller begge slik at vi får samme nevner. La oss si at vi vil legge sammen disse to brøkene:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Den første brøken har tre i nevneren, den andre har to. Akkurat nå er de vanskelige å legge sammen, men hvis vi utvider den første brøken med to, får den seks i nevneren, og hvis vi utvider den andre brøken med tre, får den også seks i nevneren. Nå har begge brøkene samme nevner, og vi kan enkelt legge dem sammen. I det første trinnet utvider vi altså brøkene slik at de får samme nevner:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Og nå legger vi bare sammen tellerne og beholder nevneren:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Vær oppmerksom på at vi ved addisjon ikke kan forkorte på tvers av brøkene som ved multiplikasjon. Etter omformingen hadde vi for eksempel seks i nevneren i den første brøken og femten i telleren i den andre. Likevel kan vi ikke forkorte med tre:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Denne forkortingen kunne vi tillate oss bare hvis vi multipliserte brøkene:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Hvordan gjør vi generelt to brøker om til brøker med fellesnevner? Vi utvider den første brøken med nevneren i den andre brøken, og vi utvider den andre brøken med nevneren i den første brøken. Generelt kan vi skrive det slik:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Den første brøken har vi utvidet med uttrykket d, som er nevneren i den andre brøken. Den andre brøken har vi utvidet med uttrykket b, som er nevneren i den første brøken. Et konkret eksempel:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Den første brøken har vi utvidet med åtte, den andre med fire. Etter dette kan vi legge sammen brøkene.

Den generelle formelen for addisjon av brøker ser da slik ut:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Subtraksjon av brøker

Subtraksjon av brøker går akkurat som addisjon av brøker, bortsett fra at vi trekker tellerne fra hverandre i stedet for å legge dem sammen. Den forrige generelle formelen for addisjon endrer vi altså slik:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Et konkret eksempel; først finner vi fellesnevner:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Og nå trekker vi bare tellerne fra hverandre og beholder nevneren:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Kryssmultiplikasjon

I likninger kan vi bruke kryssmultiplikasjon, som forenkler likheten mellom to brøker. I praksis er det ikke noe annet enn to ekvivalente omforminger av likningen. La oss ta en likning med to brøker

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Denne likningen kan vi omforme ved å multiplisere den med nevneren i den første og så også i den andre brøken. Først multipliserer vi likningen med nevneren i den første brøken, altså uttrykket b. Vi får

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Så multipliserer vi likningen med uttrykket d og får

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

I den første brøken forkorter vi b og i den andre d. Resultatet er likningen

$$ad=bc.$$

Dette kan vi altså bruke som en formel: Hvis vi har en likning med én brøk på hver side, kan vi omforme den slik:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Her er et eksempel. I det første trinnet skriver vi opp brøkene etter den forrige formelen, og i det andre trinnet omformer vi bare uttrykkene på begge sider litt.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Videre ville likningen blitt løst som en vanlig andregradslikning, men det er utenfor temaet for denne artikkelen.

Beslektede temaer

Brøker forekommer ofte når vi forenkler uttrykk, og det tar artikkelen om brøkuttrykk for seg. Spesielt finnes det en algoritme for polynomdivisjon.