Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant har én rett indre vinkel, altså en vinkel på 90 grader. Denne trekanten har flere interessante egenskaper som vi skal se på i denne artikkelen.

Grunnleggende beskrivelse

Den rettvinklede trekanten er allerede delvis beskrevet i hovedartikkelen om trekanter. En rettvinklet trekant har én indre vinkel på 90 grader. De to andre indre vinklene må nødvendigvis være mindre enn 90 grader, for ellers ville ikke summen av de indre vinklene vært lik 180 grader. Det gjelder til og med at summen av de to gjenværende vinklene er nøyaktig 90 grader.

En rettvinklet trekant har selvfølgelig tre sider. To av dem kaller vi kateter (de røde sidene), det er de minste sidene, og den tredje siden kalles hypotenus (den blå siden) – det er den lengste siden. Hypotenusen ligger alltid overfor punktet der den rette vinkelen er.

Pytagoras' setning

Den kanskje mest berømte matematiske setningen av alle, Pytagoras' setning, gjelder nettopp i en rettvinklet trekant. Pytagoras' setning handler om størrelsen på sidene i en trekant. Setningen sier at «Arealet av kvadratet over hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene av kvadratene over katetene». Matematisk skrevet for trekanten vår, der hypotenusen er siden a:

$$a^2=b^2+c^2$$

Pytagoras' setning på en figur, denne gangen med vanlig betegnelse der hypotenusen er c: Setningen har en egen artikkel.

Arealet av en rettvinklet trekant

I en rettvinklet trekant er det veldig enkelt å regne ut arealet, for høydene faller sammen med katetene. Tenk deg den rettvinklede trekanten fra den første figuren. Hvordan ville vi regnet ut arealet uten å kjenne noen høyder? Vi kan utvide trekanten slik at det oppstår et rektangel. Sidene i rektangelet blir da dannet av katetene i trekanten, og de to siste sidene tegner vi slik at det virkelig blir et rektangel: Arealet av et rektangel kan vi allerede regne ut, det er produktet av lengdene av to tilstøtende sider, i vårt tilfelle produktet av de røde sidene AC og AB. Dermed får vi arealet av rektangelet. Men hypotenusen BC danner en diagonal i rektangelet, som halverer rektangelet, så hvis vi deler arealet av rektangelet på to, får vi arealet av den rettvinklede trekanten. Formelen ser altså slik ut:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

der b og c er lengdene av katetene.

De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus

I en rettvinklet trekant gjelder de grunnleggende trigonometriske funksjonene og sammenhengene mellom dem. Trigonometriske funksjoner som sinus, cosinus, tangens og kotangens uttrykker forholdet mellom lengdene av sidene i en rettvinklet trekant. La oss ta den første trekanten til hjelp en gang til, denne gangen med framhevede vinkler.

Hvis vi vil finne forholdet mellom lengdene av to sider, tar vi begge lengdene og deler dem i den oppgitte rekkefølgen. For eksempel får vi forholdet mellom lengdene av sidene b:c (vi leser «b til c») ved å dele 3/5 (siden b har lengde 3, siden c har lengde 5).

Funksjonen sinus arbeider med forholdet mellom to sider og én vinkel. Med figuren vår gjelder: Hvis vi tar forholdet mellom sidene b:a, får vi verdien av funksjonen sinus anvendt på vinkelen β. Cosinus fungerer på samme måte, bare for forholdet c:a og den samme vinkelen β. Det gjelder altså:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Funksjonene sinus og cosinus arbeider alltid bare med de vinklene i den rettvinklede trekanten som er mindre enn 90 grader. I dette tilfellet vinklene β og γ. I dette området gir sinus og cosinus alltid et tall i intervallet ⟨0, 1⟩, og derfor kan du huske regelen at du alltid deler den korteste siden på den lengste – for å få et tall som nettopp ligger i intervallet ⟨0, 1⟩.

Begge funksjonene arbeider samtidig med én katet og hypotenusen, aldri med to kateter samtidig. Siden du alltid deler den korteste på den lengste, står hypotenusen alltid i nevneren i brøken. Når du ser på formlene over dette avsnittet, står det alltid a i nevneren, og det er hypotenusen i trekanten.

Den siste regelen er at sinus arbeider med den motstående kateten, mens cosinus arbeider med den hosliggende kateten. Hva betyr det? Hvis vi har vinkelen β, er den hosliggende kateten den kateten som går ut fra punktet B, kateten c. Den motstående er den andre kateten, kateten b. Derfor står siden b i formelen for sinus og siden c i formelen for cosinus.

Oppsummert: Sinus gir forholdet mellom den motstående kateten og hypotenusen, cosinus forholdet mellom den hosliggende kateten og hypotenusen. Hvordan kan vi utnytte det? Hvis du kjenner vinklene i trekanten og lengden av hypotenusen eller en katet, kan vi regne ut lengdene av de gjenværende sidene. Eksempel:

For den forrige trekanten gjelder:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Hva er lengden av siden a? Vi vet at det gjelder:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

Verdien av sinus kjenner vi, lengden av siden b kjenner vi også, og vi leter etter lengden av siden a. Vi løser ut a ved hjelp av ekvivalente omforminger:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Først multipliserte vi likningen med a, og så delte vi likningen på sinus.) På høyre side har vi nå bare kjente verdier, så vi setter inn. Verdien av sinus regner vi ut på kalkulator.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Siden a har lengde 5,83. Hvis du regner ut sinus på kalkulator, må du passe på at du har slått på modus for grader. Ofte er problemet at du regner med radianer, som er et annet vinkelmål. Men det gjelder en omregningsformel:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

der deg er verdien din i grader.

De trigonometriske funksjonene tangens og kotangens

I en rettvinklet trekant kan vi også enkelt bruke disse to funksjonene. Igjen gjelder det at vi alltid arbeider med vinkler som er mindre enn 90 grader. I motsetning til sinus og cosinus arbeider disse funksjonene imidlertid ikke med hypotenusen i trekanten, men bare med katetene. Det gjelder altså at tangens til en vinkel er lik forholdet mellom den motstående kateten og den hosliggende kateten, og kotangens er forholdet mellom den hosliggende kateten og den motstående.

For den forrige trekanten gjelder altså:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

La oss prøve å regne ut lengden av siden AC (siden b) i den forrige trekanten ved hjelp av vinkelen β. Størrelsen på den kjenner vi fra det forrige eksemplet. Vi vet at det gjelder:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

Vi løser ut siden b:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(Vi multipliserte bare likningen med c og byttet om sidene.) Nå kjenner vi alt vi trenger for å regne ut lengden av siden b. Vi setter inn:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Allerede av figuren ser vi at vi fikk riktig svar. Pass igjen på at i formelen for tangens står det en verdi i grader, mens kalkulatoren kan kreve vinkelen i radianer.

For illustrasjonens skyld kan vi regne ut den samme siden ved hjelp av kotangens:

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

Vi setter inn verdiene:

$$b=\frac{5}{\cot (30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Igjen fikk vi riktig resultat.