Trigonometriske funksjoner

I denne artikkelen skal jeg gjennomgå de trigonometriske funksjonene. Ordet trigonometri kommer fra gresk: trigonon betyr trekant, og metron betyr måling. Vi kjenner fire grunnleggende trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Grunnleggende begreper om trekanten

Trigonometriske funksjoner arbeider med vinkler i en trekant, og derfor repeterer vi i denne delen begreper knyttet til trekanten.

På figuren ser vi en trekant som er dannet av hjørnene A, B og C, så dette er trekanten ABC. Vi finner tre sider her: AB, BC, AC. Legg også merke til at disse sidene i tillegg er gitt navn med små bokstaver. Navnene følger en regel: overfor hjørnet A ligger siden a, overfor hjørnet B siden b og overfor hjørnet C siden c. En side får altså alltid navn etter hjørnet den ligger overfor, altså hjørnet som ikke ligger på siden.

Hver trekant har tre indre vinkler, som vi vanligvis betegner med de greske bokstavene alfa α, beta β og gamma γ. Summen av alle tre indre vinkler er alltid 180 grader. Ved hjørnet A har vi vanligvis vinkelen alfa, ved B beta og ved C gamma.

Selv om vi på en eller annen måte kan bruke trigonometriske funksjoner i en hvilken som helst trekant, arbeider vi ofte bare med en rettvinklet trekant. En rettvinklet trekant er en trekant som har én rett vinkel, altså på 90 grader. Den ser for eksempel slik ut:

En rettvinklet trekant har sider med spesielle navn. Den lengste siden ligger overfor den rette vinkelen og kalles hypotenusen (den blå siden på figuren). De to kortere sidene kalles kateter (de røde sidene). Denne trekanten er den vi er mest interessert i i denne artikkelen.

Betegnelser for katetene i trekanten

La oss gå videre til den første trigonometriske funksjonen, funksjonen sinus. Alle trigonometriske funksjoner viser oss sammenhengen mellom en vinkel i trekanten og forholdet mellom lengdene av to sider. Vanligvis er det ikke den rette vinkelen vi ser på, men de to andre. Input til en trigonometrisk funksjon er altså størrelsen på en vinkel. Output er forholdet mellom to sider. De ulike funksjonene skiller seg etter hvilke sider de arbeider med.

Funksjonen sinus arbeider med motstående katet og hypotenusen. Hva som er hosliggende og motstående katet i forhold til en gitt vinkel, viser følgende figur.

På figuren arbeider vi med vinkelen beta, altså vinkelen ved hjørnet B. Den svarte siden er hypotenusen, og den endrer seg ikke. Den røde siden c er den hosliggende kateten, fordi den ligger inntil vinkelen beta. Den blå siden b er den motstående kateten, fordi den ligger overfor vinkelen beta. Det viktige er at disse begrepene alltid gjelder i forhold til en vinkel. Hvis vi ser på figuren fra vinkelen gamma, får vi dette resultatet:

Funksjonen sinus

Sinus til vinkelen alfa er lik forholdet mellom lengden av motstående katet og lengden av hypotenusen. Hva betyr det? Hvis vi (for eksempel på kalkulatoren) regner ut sinus til vinkelen alfa, får vi verdien av kvotienten

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{lengden av motstående katet}}{\text{lengden av hypotenusen}}$$

Vi prøver det på denne trekanten og vinkelen beta: Det er en fin trekant, sidelengdene er: |a| = 5, |b| = 3 og |c| = 4. Motstående katet til vinkelen beta er siden b, hypotenusen er siden a. Vi regner ut kvotienten b/a, altså 3/5, som er 0,6. Sinus til vinkelen beta er dermed lik 0,6. Vinkelen beta er 36° 52′, og hvis du taster inn denne vinkelen på kalkulatoren og regner ut sinus, får du nettopp 0,6 (etter en liten avrunding).

Hva er dette godt for

Det er nyttig når du kjenner én vinkel og lengden av én side og må regne ut de andre sidene.

Først skriver vi ned hva vi egentlig vet. Vi kjenner vinkelen alfa. Vi vet at sinus til denne vinkelen er lik forholdet mellom motstående katet (som er siden a) og hypotenusen (siden b). Skrevet matematisk:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Sinus til vinkelen kjenner vi, eller vi kan regne den ut, og lengden av siden a kjenner vi. Det eneste vi ikke kjenner, er lengden av siden b. Denne variabelen skal vi prøve å isolere. Først ganger vi likningen med lengden av siden b. Vi får

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

og nå deler vi bare likningen på sin(α) og får den ønskede formen med lengden av siden b på venstre side:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

Lengden av siden a kjenner vi, den er lik tre. Sinus til tretti grader er lik en halv. Vi setter inn:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Siden b har lengde seks.

Funksjonen cosinus

Cosinus er veldig lik funksjonen sinus. Terminologien rundt funksjonen cosinus er den samme som i forrige del, så la oss gå til definisjonen:

Cosinus til vinkelen alfa er lik forholdet mellom lengden av hosliggende katet og lengden av hypotenusen. Hvis vi altså regner ut cosinus til vinkelen alfa på kalkulatoren, får vi verdien av kvotienten

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{lengden av hosliggende katet}}{\text{lengden av hypotenusen}}.$$

Forskjellen mellom sinus og cosinus vises oversiktlig på følgende figur:

Begge funksjonene arbeider med hypotenusen til trekanten, og den forblir svart. Sinus arbeider med motstående katet, som i forhold til vinkelen alfa er den røde siden BC. Cosinus arbeider med hosliggende katet, som er den blå siden AB.

La oss gå tilbake til eksempelet fra forrige del. Vi skulle regne ut lengden av hypotenusen når vi kjente lengden av siden a. Nå prøver vi å regne ut lengden av siden c når vi kjenner vinkelen alfa og lengden av hypotenusen, som vi nettopp regnet ut i forrige eksempel: b = 6.

Hva vet vi? Vinkelen alfa er 30 grader, lengden av siden b er lik seks, og cosinus gir oss forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen. Hosliggende katet er siden c, som er siden vi vil finne lengden av. Vi skriver:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Vi må isolere |c| i likningen. Det gjør vi ved å gange likningen med lengden av siden b, slik at bare lengden av siden c blir igjen på høyre side:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Vi snur bare sidene:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

På høyre side har vi uttrykk som vi enten kjenner eller kan regne ut. Cosinus til tretti grader er omtrent 0,866. Vi setter inn i likningen:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Det er lengden av siden c. Som vi skal se senere, er cosinus til tretti grader en eksakt verdi, som er lik

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

så den forrige lengden kan vi gjøre mer nøyaktig:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangens og cotangens

Det finnes to trigonometriske funksjoner til, tangens og cotangens. Hovedforskjellen fra de foregående trigonometriske funksjonene er at tangens og cotangens bare arbeider med katetene, ikke med hypotenusen.

Tangens til vinkelen alfa er lik forholdet mellom lengden av motstående katet og lengden av hosliggende katet. Tangens skriver vi tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{lengden av motstående katet}}{\text{lengden av hosliggende katet}}$$

Cotangens til vinkelen alfa er lik forholdet mellom lengden av hosliggende katet og lengden av motstående katet. Cotangens skriver vi cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{lengden av hosliggende katet}}{\text{lengden av motstående katet}}$$

Terminologien er igjen den samme som i de foregående delene, og det videre arbeidet med funksjonene er det samme. La oss gå tilbake til det forrige eksempelet og prøve å regne ut lengden av siden c bare ut fra størrelsen på vinkelen alfa og lengden av siden a, som er a = 3.

Tangens er forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet, så matematisk skrevet blir det slik:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Vi må regne ut lengden av siden c, så vi må isolere uttrykket |c| i denne likningen. Vi ganger med uttrykket |c| og deler på tan(α), på samme måte som i de foregående eksemplene.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

Vi setter inn på høyre side, der tangens til tretti grader er omtrent lik 0,5773.

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

For tangens til tretti grader finnes det en eksakt verdi, det gjelder at:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

så den forrige utregningen kan vi gjøre nøyaktig:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Eksakte verdier

Sinus, cosinus, tangens og cotangens har pene verdier for noen pene vinkler. Her er en grunnleggende oversikt:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Lenker

Relaterte begreper her på nettstedet:

• Orientert vinkel
• Radian