Pytagoras' setning

Pytagoras' setning er kanskje den mest berømte matematiske setningen av alle. Om selve Pytagoras fra Samos kan du lese andre steder. Nå kaster vi oss over trekantene.

Arealet av kvadratet over en side i trekanten

Pytagoras' setning forteller oss en nyttig sammenheng mellom arealene av kvadratene vi konstruerer ved hjelp av sidene i en rettvinklet trekant. La oss tenke oss at vi har denne rettvinklede trekanten:

Rutenettet i bakgrunnen viser oss målene i trekanten. Lengden av kateten AC er lik 4, og lengden av kateten BC er lik 3. Men hva er lengden av siden AB, lengden av hypotenusen i trekanten? Ved første øyekast kan vi ikke finne ut lengden. Men vi kan prøve å regne den ut.

Først konstruerer vi et kvadrat over kateten BC. Det betyr at vi konstruerer et kvadrat der alle kantene er like lange som siden BC, altså tre. På figuren ville vi tegne det slik:

Det oppstod kvadratet BCDE, som har alle kantene lik 3. Hva er arealet av et slikt kvadrat? Arealet av et kvadrat regner vi ut ved å multiplisere lengdene av to kanter i kvadratet, så arealet av kvadratet BCDE er lik 3 · 3 = 9. Vi tegner inn kvadratet over den andre kateten, kateten AC. Et slikt kvadrat har kantlengde 4.

Dette kvadratet har areal 4 · 4 = 16. Nå tegner vi inn det siste kvadratet, over hypotenusen AB:

Hva arealet av dette nye kvadratet blir, vet vi ennå ikke, for vi kjenner ikke lengden av kanten AB. Men nå kan vi fint bruke Pytagoras' setning. Den sier nemlig at arealet av dette siste kvadratet ABHI er lik summen av arealene av de to foregående kvadratene. De to første kvadratene hadde altså arealene 9 og 16, så det siste kvadratet har – etter Pytagoras' setning – arealet 9 + 16 = 25. Vi tegner det inn på figuren:

Og nå gjenstår det bare å svare på det siste spørsmålet – hvis kvadratet ABHI har areal 25, hva er lengden av sidene i dette kvadratet? Det må være kvadratroten av 25, så lengden av siden AB er lik $\sqrt{25}=5$. Når vi kontrollerer det tilbake og regner ut arealet av et kvadrat med kantlengde 5, får vi arealet 5 · 5 = 25. Og nå kan vi gå løs på tallene og definisjonene.

Definisjon

Pytagoras' setning lyder omtrent slik: «Arealet av kvadratet over hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene av kvadratene over katetene». Matematisk skriver vi vanligvis setningen slik

$$c^2=a^2+b^2,$$

der a og b er lengdene av katetene i en trekant og c er lengden av hypotenusen.

Hva sier da Pytagoras' setning, og hvordan henger denne skrivemåten sammen med den forrige figuren? Arealet av kvadratet over en side i trekanten betyr at vi tar et kvadrat som har sidelengde lik lengden av den gitte siden, og regner ut arealet av det. Arealet av et kvadrat regner vi ut ved å multiplisere én sidelengde med en annen sidelengde, så hvis siden har lengde c, blir arealet A lik: A = c · c, og det kan vi ved hjelp av potenser skrive som A = c².

Skrivemåten c² = a² + b² kan vi altså lese som «arealet av kvadratet med kantlengde c er lik summen av arealene av kvadratene med kantlengdene a og b».

Jeg understreker enda en gang at setningen bare gjelder i en rettvinklet trekant, ikke i en vilkårlig trekant. Pytagoras' setning brukes vanligvis i tilfeller der du kjenner størrelsen på to sider og må regne ut lengden av den gjenværende siden. Hvis vi kjenner lengden av begge katetene a og b og vil finne lengden av hypotenusen c, regner vi ut arealene over katetene, altså regner vi ut a² + b². Dermed får vi arealet av kvadratet over hypotenusen c, altså får vi c². For å få lengden av siden c tar vi bare kvadratroten av det arealet vi regnet ut. Da får vi formelen:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

der c er lengden av hypotenusen og a, b er lengdene av katetene. Hvis vi derimot kjenner lengden av hypotenusen og den ene kateten og vil regne ut lengden av den gjenværende kateten, regner vi det ut på samme måte, bare at vi først løser likningen ut for én av katetene. Så hvis vi kjenner c og b og vil regne ut a, løser vi likningen

$$c^2=a^2+b^2,$$

ut for a² ved å trekke fra b²:

$$c^2-b^2=a^2,$$

vi bytter om venstre og høyre side:

$$a^2=c^2-b^2$$

og til slutt tar vi kvadratroten:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Første eksempel

La oss ha trekanten ABC, der vi kjenner lengdene av to sider: a = 3 og b = 4. Det er den samme trekanten som vi hadde i begynnelsen. Spørsmålet er hva lengden av den gjenværende siden, siden c, er. Vi prøver å regne den ut med formelen vi har fått. Trekanten er vist på følgende figur:

Vi ser at vi kjenner lengdene av de to katetene, og lengden av hypotenusen mangler. Derfor bruker vi den første, uomformede formelen:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Vi setter lengdene av sidene inn for variablene a og b:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

I formelen har vi andre potens – til påminnelse gjelder følgende sammenheng:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Så når vi har regnet ut andre potens, får vi:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Resultatet er at lengden av siden c er lik fem.

Andre eksempel

I dette eksemplet prøver vi å regne ut lengden av én av katetene når vi kjenner den ene kateten og dessuten lengden av hypotenusen. Vi har altså trekanten ABC med sidelengdene |AC| = 10 og |BC| = 6. Trekanten er vist på følgende figur:

Av figuren ser vi at hypotenusen, altså den lengste siden, er siden |AC|. Vi må regne ut lengden av siden |AB|. Vi setter inn i den andre formelen, den for å regne ut lengden av en katet:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

For å bruke Pytagoras' setning riktig må vi nå være klar over hva hver variabel står for. I denne formelen er variabelen a lengden av den siden vi vil regne ut, i vårt tilfelle siden |AB|. Variabelen c er lengden av hypotenusen, den lengste siden, i vårt tilfelle siden |AC|. Og variabelen b er lengden av den kateten vi kjenner lengden av, i vårt tilfelle |BC|. Derfor setter vi inn i formelen slik:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Vi setter inn de konkrete sidelengdene vi kjenner:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Vi regner ut potensene og trekker fra:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Og til slutt tar vi kvadratroten:

$$|AB|=8$$

Lengden av siden |AB| er lik åtte.

Tekstoppgave

Tenk deg at du går til en venninne langs en rett vei. Veien er 250 meter lang. Etter denne kvarte kilometeren svinger du til venstre og går ytterligere 100 meter, og så er du hos den gode venninnen din. Spørsmålet er hvor mye kortere veien blir hvis du går rett over jordet?

Som første steg regner vi ut lengden av veien når du går langs veien. Du går først 250 meter rett fram og så 100 meter til venstre. Det er til sammen 250 + 100 = 350 meter. Nå er det tid for å regne ut lengden av veien over jordet. Til det trenger vi en figur.

Én rute på figuren er 50 meter. Hvordan ville den rette veien over jordet se ut? Det ville vært et linjestykke fra punktet A til punktet C. Vi tegner det inn i figuren med rød farge.

Nå ser vi at for å regne ut lengden av veien over jordet holder det at vi bruker Pytagoras' setning på en passende måte. Vi leter etter lengden av hypotenusen og kjenner lengden av begge katetene, så vi bruker den første formelen og setter inn slik:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Vi setter inn lengdene:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Vi opphøyer:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Vi tar kvadratroten og runder av:

$$|AC|=269$$

Lengden av veien over jordet er 269 meter. Dette er ikke slutten på oppgaven, spørsmålet var hvor mye kortere veien over jordet er. Vi trekker lengdene fra hverandre, og differansen kaller vi r:

$$r=350-269=81$$

Svaret er at veien er omtrent 81 meter kortere.

Sidelengden i et kvadrat

Hva er sidelengden i et kvadrat der diagonalen er ti? Hvordan hjelper Pytagoras' setning oss med det? Vi må finne en rettvinklet trekant i kvadratet som vi kan bruke til å regne ut sidelengden i kvadratet. Bare til påminnelse: Et kvadrat har fire like lange sider. La oss tegne situasjonen vi har nå:

Vi ser at det i kvadratet plutselig dukket opp to trekanter som har en rett vinkel, og som vi kunne bruke til å regne ut sidelengden. La oss ta for eksempel trekanten BCD. DB er hypotenusen, og de to andre sidene er kateter. Lengdene av katetene kjenner vi ikke, men vi kjenner lengden av hypotenusen. Disse katetene har samme lengde, altså |BC| = |CD|. Vi bruker den grunnleggende Pytagoras' setning:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Men siden katetene er like, holder det at vi regner ut andre potens av én katet og multipliserer den med to – vi trenger ikke regne ut andre potens av begge katetene, for de er like, og vi ville fått det samme resultatet. Vi kan altså skrive:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

Vi kjenner lengden av siden BD, det er hypotenusen. Lengden er lik ti. Vi setter inn i likningen:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

Vi kvadrerer tieren:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

Vi deler på to:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Vi forkorter brøken:

$$50=|BC{|}^2$$

Nå er vi nesten framme. Vi vet at andre potens av sidelengden i kvadratet er lik 50. For å finne sidelengden må vi derfor ta kvadratroten på begge sider av likningen, og det kan vi tillate oss, siden vi holder oss til positive tall:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

Kvadratroten av femti lar vi stå i denne formen, men på høyre side av likningen kan vi fjerne kvadratroten og potensen, for de opphever hverandre.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Hvis du vil, kan du også regne ut kvadratroten av femti. Avrundet ville du fått sju:

$$7=|BC|$$

Så sidelengden i kvadratet er omtrent sju, nøyaktig kvadratroten av femti.

Kalkulator

Hypotenusen regner du ut fra begge katetene, og en katet fra hypotenusen og den andre kateten. Du kan bytte enhet for hvert felt.