Wariacje z powtórzeniami (kalkulator)

Ile jest czterocyfrowych kodów PIN? Na każde z czterech miejsc możesz wpisać dowolną z dziesięciu cyfr, a cyfry mogą się powtarzać, więc przejdzie też 0000 czy 7737. Dokładnie to liczą wariacje z powtórzeniami: ile uporządkowanych ciągów k-elementowych da się ułożyć z n elementów, gdy elementy mogą się powtarzać, a kolejność ma znaczenie. Jeśli elementy powtarzać się nie mogą, mamy zwykłe wariacje.

Podaj, z ilu znaków wybierasz i jak długi ciąg układasz.

Jak to się liczy

Kalkulator liczy według wzoru

$$W_n^k=n^k$$

Na pierwsze miejsce PIN-u możemy wpisać dowolną z dziesięciu cyfr. Do każdej z nich znowu dowolną z dziesięciu na drugie miejsce, to jest 10 · 10 = 100 możliwości. Na trzecie i czwarte miejsce mnożymy jeszcze dwa razy:

$$W_{10}^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10={10}^4=10000$$

Czterocyfrowych PIN-ów jest więc dziesięć tysięcy. Złodziej, który próbowałby jednego na sekundę, przeszedłby je najdłużej w 10 000 sekund, czyli około 2,78 godziny. Dlatego bank po trzech złych próbach blokuje kartę.

Z literami rośnie to dużo szybciej. Hasło z ośmiu małych liter bez znaków diakrytycznych ma 26⁸ możliwości, czyli ponad 208 miliardów. Więcej o tym, co czyni hasło bezpiecznym, znajdziesz w artykule o bezpieczeństwie hasła.