Funções logarítmicas

A função logarítmica é a função inversa da função exponencial.

O que é o logaritmo

Escrevemos a função logarítmica com a palavra log; quando se trata do logaritmo natural (veja adiante), usamos ln. A lei básica da função logarítmica é assim:

$$y={\log }_{a}x$$

Lemos essa escrita assim: “Logaritmo do número x na base a”. Essa função logarítmica é inversa da função exponencial f(x) = a^x. O valor da função logarítmica chama-se logaritmo.

Como a função logarítmica é inversa da exponencial, precisa valer a seguinte equivalência:

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Ou seja, se o valor a^y é igual a x, então o logaritmo de x na base a é igual a y. Vamos mostrar alguns exemplos. Seja a função exponencial f(x) = 2^x. Como seria a função inversa (logarítmica)? Assim: f⁻¹(x) = log₂x. Se substituímos o três na função exponencial, obtemos: f(3) = 2³ = 8.

Que relação precisa valer agora? Precisa valer que, se colocamos o oito na função inversa f⁻¹, a função logarítmica deve nos devolver o três. Porque o número 3 era o argumento da função exponencial e o número 8 era o resultado. A função inversa se comporta ao contrário: a entrada é o número 8 e a saída é o número 3. Você pode conferir isso, por enquanto, por exemplo em uma calculadora científica, para ver que é realmente assim.

Então, se escrevemos 2³ = 8, a função logarítmica inversa nos dá a relação: log₂8 = 3. O que é, então, o logaritmo? O logaritmo é o expoente ao qual precisamos elevar a base para obter o argumento x.

Funções logarítmicas importantes

Algumas funções logarítmicas são especialmente importantes. Trata-se, concretamente, do “logaritmo natural”, que tem como base o número de Euler. Indicamos esse número pela letra e. É um número irracional, ou seja, um número com representação decimal infinita e não periódica. Seu valor aproximado é: e = 2,718 281.828…. Escrevemos o logaritmo natural ou como log_ex ou, mais simplesmente, como ln x. Aquele “n” vem do latim “logarithmus naturalis”, mas para memorizar basta o português: “logaritmo natural”, ou “neperiano”.

Outro logaritmo significativo é o “logaritmo decimal”, que é a função logarítmica de base dez. Costumamos escrevê-lo ou como log₁₀x ou apenas log x. Se no logaritmo não está indicada a base, supõe-se a base 10.

Propriedades da função logarítmica

Como já sabemos, a função logarítmica é inversa da exponencial. Graças a isso, ela herda também algumas de suas propriedades e restrições. Sabemos que a função exponencial tem a forma f(x) = a^x, em que a é um número real maior que zero e diferente de um. Graças a isso, também a base do logaritmo a precisa ser maior que zero e diferente de um. Então, mais uma vez, a escrita da função logarítmica:

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Como se trata de uma função inversa, já conhecemos também o domínio e o conjunto imagem. Vale que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial, então o domínio da função logarítmica é igual a ]0, +∞[. O conjunto imagem do logaritmo é igual ao domínio da função exponencial, isto é, o conjunto de todos os números reais.

Gráficos de funções logarítmicas

Do mesmo modo que na função exponencial, precisamos distinguir dois casos: quando a base a pertence ao intervalo ]0, 1[ e quando pertence ao intervalo ]1, +∞[. No primeiro caso, isto é, a no intervalo ]0, 1[, o gráfico é assim:

No caso em que a base a pertence ao intervalo ]1, +∞[, o gráfico é assim:

Observe ainda o gráfico da função exponencial e da sua inversa logarítmica em um só gráfico (em azul está o logaritmo, em vermelho a função exponencial):

Por que os gráficos passam pelo ponto (1, 0)

Os dois gráficos cortam o eixo x no ponto x = 1. Isso está certo, visto que toda função exponencial passa pelo ponto (0, 1). Como o logaritmo é a função inversa, essa função precisa sempre passar pelo ponto (1, 0). Isso tem a sua lógica. Se o gráfico passa pelo ponto (1, 0), significa que, para a entrada da função x = 1, temos a saída f(x) = 0.

No caso dos logaritmos, isso significa que procuramos o expoente ao qual devemos elevar a base para obter um. Qual é esse expoente? Só o zero. Qualquer número elevado a zero é um; por isso, seja qual for a base, a função logarítmica passará pelo ponto (1, 0), porque qualquer número elevado a zero é um. (Observação: não se esqueça de que a base não pode ser absolutamente qualquer: a>0 e a ≠ 1.)

Propriedades dos logaritmos (fórmulas)

Seguem algumas relações e fórmulas importantes que valem para os logaritmos:

Suponha que a base a é realmente a base de um logaritmo, isto é, a>0, a ≠ 1. Além disso, sejam x₁ e x₂ números reais positivos quaisquer. Então vale:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Algumas relações que decorrem diretamente da definição de logaritmo:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Como expressar outro logaritmo por meio do logaritmo natural

Às vezes acontece de, por exemplo, em uma calculadora, não termos à disposição o logaritmo de base qualquer, mas apenas o natural e o decimal. O que fazer se você precisa calcular um logaritmo em outra base? Existe uma fórmula que ajuda. Vale que:

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Se escolhermos para b o número de Euler, obtemos com isso a fórmula:

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

No primeiro capítulo precisávamos calcular o logaritmo do número 8 na base 2. Podemos calcular isso por meio do logaritmo natural assim:

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Podemos, de novo, conferir o cálculo em uma calculadora. Mas você não precisa usar o logaritmo natural; pode usar também o decimal, a fórmula permite. Então vale igualmente:

$${\log }_{2}8=\frac{\log 8}{\log 2}=3$$

(Não se esqueça de que, se a base não está indicada, supõe-se a base a = 10.) De novo, dá para conferir em uma calculadora.

Calculadora

Se você precisar calcular um logaritmo, pode usar a nossa calculadora de logaritmo 🧮.