Ângulo

O ângulo é uma das figuras mais básicas da geometria. Neste artigo vemos o que é um ângulo, como se mede e que operações podemos fazer com ângulos.

O que é um ângulo

A definição de ângulo não é assim tão simples, e existem várias versões. Mas, para as nossas necessidades, pode bastar esta: ângulo é a parte do plano limitada por duas semirretas que têm a mesma origem. O importante nessa definição é que o ângulo não são apenas os dois lados, mas toda a superfície, todo o pedaço de plano que os dois lados delimitam. Veja a figura a seguir:

Só que a figura anterior não era totalmente verdadeira, porque não especificamos de qual ângulo estamos falando. À primeira vista, poderíamos imaginar que o ângulo ABC é a superfície mencionada, mas do mesmo modo poderíamos imaginar a outra parte do plano:

Por isso, ao escrever ângulos, devemos distinguir se estamos falando de um ângulo convexo (aquele que tem menos de 180°) ou de um ângulo não convexo (mais de 180°). O ângulo não convexo também pode ser chamado de ângulo côncavo. Isso pode ser indicado, por exemplo, com o auxílio de um ângulo orientado.

O ângulo pode ter orientação positiva ou negativa. Na orientação positiva avançamos no sentido anti-horário e, na negativa, no sentido horário. Assim, ao escrever o ângulo ABC, a primeira semirreta mencionada é BA e a segunda é BC. No sentido positivo, olhamos para a semirreta BA e avançamos a partir dela, no sentido anti-horário. No nosso exemplo acima, obteríamos a primeira figura, o ângulo convexo. Se escolhêssemos o sentido negativo, obteríamos o ângulo não convexo, ou seja, a segunda figura. Normalmente se trabalha com o sentido positivo, e neste artigo as notações também serão escritas no sentido positivo.

O ângulo é formado, portanto, por dois lados, que o limitam, pelo vértice do ângulo, de onde saem essas semirretas, e pela superfície que os lados do ângulo delimitam. Se temos o ângulo ABC, os lados do ângulo são BA e BC e o vértice é B.

Medida do ângulo

Assim como podemos medir o comprimento de um segmento, também podemos determinar a medida de um ângulo. Ela se mede em graus, que você com certeza conhece, ou em radianos. A medida em graus é simples: 90° é um ângulo reto (por exemplo, os ângulos internos de um quadrado medem cada um 90°), 180° é um ângulo raso (formado, por exemplo, por semirretas opostas) e 360° é um ângulo de uma volta (formado por semirretas que ficam uma sobre a outra — esse ângulo é formado por todo o plano ao redor). O grau se divide ainda em minutos (indicados por ′) e segundos (indicados por ″). Um grau tem 60 minutos e um minuto tem sessenta segundos. 1° = 60′ e 1′ = 60″.

Figuras de cada um dos ângulos:

A medida em radianos é um pouco mais difícil de imaginar, porque aqui trabalhamos com radianos, que não têm dimensão. O tamanho do radiano e outras propriedades eu já descrevi nas funções trigonométricas, então não vou me repetir.

Segundo a medida, os ângulos ainda podem ser divididos em ângulo agudo, que mede menos de 90°, e ângulo obtuso, que mede entre 90° e 180°. Eles formam uma espécie de subconjunto do ângulo convexo, que mostrei acima. O ângulo não convexo, que tem mais de 180°, não se divide mais.

Pares de ângulos

Alguns pares específicos de ângulos têm propriedades diferentes, que é bom conhecer.

• Ângulos opostos pelo vértice são ângulos que têm o vértice em comum e cujos lados formam semirretas opostas. Ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes, têm a mesma medida.

• Ângulos suplementares adjacentes são ângulos que têm um lado em comum e cujos outros lados são semirretas opostas. A soma de dois ângulos suplementares adjacentes é sempre igual a 180°, o ângulo raso.

• Ângulos correspondentes são ângulos cujos primeiros lados são paralelos e cujos segundos lados ficam sobre uma mesma reta. Também é preciso que os ângulos tenham a mesma orientação. Ângulos correspondentes são congruentes.

Existem ainda outros tipos de ângulos, mas são apenas posições que podem ser deduzidas a partir dessas três disposições descritas acima.

Operações com ângulos

Com os ângulos podemos fazer algumas operações elementares. A mais básica é a adição. Numericamente, quase não há como errar: você simplesmente soma as medidas dos ângulos. Se o ângulo passar de 360°, normalmente ele é convertido para uma forma mais simples, em algum ponto do intervalo 0° − 360°. Basta trabalhar como se estivesse num sistema numérico de base trezentos e sessenta. Do mesmo modo, se o exercício tiver minutos ou segundos, você precisa calcular no sistema sexagesimal (como num relógio comum).

Então, só para garantir, vamos a um exemplo. Some estes ângulos: α = 183° 51′ e β = 222° 24′. Primeiro calculamos os minutos: 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (o procedimento é simples: você divide 75 por sessenta. O quociente dá o número de graus e o resto dá o número de minutos que sobram). Agora calculamos os graus: 183° + 222° = 405°. A esse resultado parcial somamos o resultado anterior: 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Agora vamos subtrair 360 desse ângulo até que ele fique no intervalo entre 0 e 360. Reduzimos porque, se percorremos um ângulo de 360°, estamos de novo no começo; um ângulo de 361° terá no papel o mesmo tamanho que um ângulo de 1°. Chegamos a este cálculo: 406° 15′ = 46° 15′.

• Wikipédia