Como desenhar um triângulo

O triângulo é um polígono que tem exatamente três lados. Indicamos esses lados por letras minúsculas, classicamente a, b, c. O triângulo tem também três vértices, que indicamos por letras maiúsculas, classicamente A, B, C. O lado a corresponde então ao segmento BC, o lado b ao segmento AC e o lado c ao segmento AB. O lado a fica sempre em frente ao vértice A, e do mesmo modo para os outros lados.

Conhecemos os três lados

Se conhecemos os comprimentos dos três lados, desenhar o triângulo é bem fácil. Escolhemos um dos lados, por exemplo AB, e o desenhamos como um segmento comum. Depois precisamos descobrir onde fica o terceiro ponto. Isso se faz de modo simples: pega-se o compasso, apoia-se no ponto B e traça-se uma circunferência de raio igual ao comprimento do lado BC, por exemplo cinco centímetros. Assim descobrimos todos os lugares onde o ponto C poderia estar para ficar a exatamente cinco centímetros do ponto B. Depois fazemos o mesmo com o lado AC e o ponto A. Agora temos duas circunferências, e o ponto de interseção delas nos dá o ponto que fica à distância indicada, em centímetros, do vértice A e também do ponto B.

Conhecemos dois lados e a altura

Cada lado do triângulo tem sua altura, que se define como a perpendicular traçada do vértice oposto até o lado indicado. Se essa perpendicular não cruzar diretamente o lado, precisamos prolongar o lado até o lugar onde ele se cruza com a perpendicular. A propriedade básica da altura é, portanto, ser perpendicular ao lado a que pertence. Isso é muito usado em exercícios de cálculo, pois podemos usar o teorema de Pitágoras. A altura relativa ao lado c costuma ser escrita com a letra minúscula h e, no índice inferior, a indicação do lado a que a altura pertence. Ou seja, no nosso caso, h_c. O pé da perpendicular (a interseção do lado com a perpendicular) é indicado de modo parecido, só que em vez do h minúsculo escrevemos o H maiúsculo: H_c.

Traçamos a altura a partir do vértice C. O outro ponto fica no lado oposto AB (ou seja, o lado c), e o segmento CH_c é perpendicular ao lado c. O ponto H_c chama-se pé da altura; o lado c é chamado de base. O pé costuma ser nomeado pela letra H com um índice inferior, em que vai o vértice de onde a altura parte. Neste caso, é o vértice C.

A altura se desenha com bastante facilidade: você pega o esquadro e traça uma perpendicular ao lado c de modo que essa perpendicular passe exatamente pelo ponto C. Só isso.

Podemos traçar uma altura a partir de cada vértice do triângulo. Todas as alturas se cruzam, então, em um ponto chamado ortocentro. O ortocentro pode ficar no interior do triângulo, mas também pode não ficar. No caso do triângulo acutângulo, o ortocentro fica no interior do triângulo.

Conhecemos dois lados e a mediana

Além da altura, todo triângulo tem ainda três medianas. A mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. As três medianas se cruzam em um único ponto, chamado baricentro. Esse baricentro divide então as medianas sempre na razão 2:1 — a parte da mediana antes do baricentro é o dobro da outra parte, depois do baricentro (ou, vista do outro lado, a metade). As medianas são nomeadas pela letra minúscula m com o índice inferior do lado a que pertencem. O baricentro costuma ser nomeado por uma letra maiúscula, G.

Se você conhece dois lados e a mediana relativa a um desses dois lados, o triângulo se desenha muito facilmente. Você começa de novo desenhando o lado AB e depois descobre onde fica o ponto C fazendo duas circunferências: a primeira com centro no ponto B (ou A, se você conhece o comprimento AC) e a segunda com centro no ponto médio do lado AB. O ponto em que as circunferências se cruzam é o ponto C procurado. Acho que não é preciso mais uma figura: o procedimento é o mesmo do primeiro caso, só que, em vez do triângulo ABC, você desenha primeiro o triângulo M_cBC, a partir do qual descobre o vértice C procurado.

Conhecemos dois lados e outra mediana

Primeiro observe o esboço de como isso deve ficar:

Conhecemos os elementos indicados em vermelho e, a partir deles, devemos desenhar o triângulo inteiro. O procedimento é o seguinte — completamos esse triângulo até um quadrilátero e, a partir do quadrilátero, desenhamos o resto. A figura a seguir explica isso claramente (lembro que o comprimento BD é igual ao dobro do comprimento de m_b).

Desenhamos esse quadrilátero facilmente. Primeiro desenhamos o triângulo ABD. Conhecemos o comprimento do lado AB, o comprimento do lado BD é 2m_b e o comprimento AD é igual ao comprimento BC. Encontramos o ponto C ou achando o ponto M_b, que é o ponto médio do segmento BD, e depois apenas desenhando a semirreta AM_b, e o comprimento AC é o comprimento 2AM_b. A segunda possibilidade é desenhar uma reta paralela ao lado AB, e o ponto C ficará nessa reta e estará a uma distância |AB| do ponto D.