Funcția logaritmică

Funcția logaritmică este funcția inversă a funcției exponențiale.

Ce este logaritmul

Funcția logaritmică o scriem cu simbolul log, iar dacă este vorba de logaritmul natural (vezi mai jos), îl notăm ln. Formula de bază a funcției logaritmice arată astfel:

$y = \log_{a} x$

Această scriere se citește: „Logaritmul numărului x în baza a”. Această funcție logaritmică este inversa funcției exponențiale f(x) = a^x. Valoarea funcției logaritmice se numește logaritm.

Deoarece funcția logaritmică este inversa celei exponențiale, trebuie să aibă loc următoarea echivalență:

$y = \log_{a} x \Leftrightarrow a^{y} = x$

Așadar, dacă valoarea a^y este egală cu x, atunci logaritmul lui x în baza a este egal cu y. Să încercăm câteva exemple. Fie funcția exponențială f(x) = 2^x. Cum ar arăta funcția inversă (cea logaritmică)? Așa: f⁻¹(x) = log₂ x. Dacă în funcția exponențială înlocuim pe x cu trei, obținem: f(3) = 2³ = 8.

Ce relație trebuie să aibă loc acum? Trebuie ca, dacă în funcția inversă f⁻¹ introducem opt, funcția logaritmică să ne returneze trei. Pentru că numărul 3 a fost argumentul funcției exponențiale, iar numărul 8 a fost rezultatul. Funcția inversă se comportă invers: intrarea este numărul 8, iar ieșirea este numărul 3.

Deci, dacă scriem 2³ = 8, funcția logaritmică inversă ne dă relația: log₂ 8 = 3. Ce este deci logaritmul? Logaritmul este exponentul la care trebuie ridicată baza ca să obținem argumentul x.

Funcții logaritmice importante

Unele funcții logaritmice sunt deosebit de importante. Concret, este vorba de „logaritmul natural”, care are ca bază numărul lui Euler. Îl notăm cu litera e. Este un număr irațional, adică un număr cu o scriere zecimală infinită și neperiodică. Valoarea lui aproximativă este: e ≈ 2,718 281 828…. Logaritmul natural îl scriem fie log_e x, fie, mai simplu, ln x. Litera „n” provine din latinescul „logarithmus naturalis”, dar pentru a ține minte îți ajunge „logaritm natural”.

Un alt logaritm important este „logaritmul zecimal”, adică funcția logaritmică în baza zece. De obicei îl scriem fie log₁₀ x, fie pur și simplu lg x.

Proprietățile funcției logaritmice

După cum știm deja, funcția logaritmică este inversa celei exponențiale. Datorită acestui fapt preia și unele dintre proprietățile și restricțiile ei. Știm că funcția exponențială are forma f(x) = a^x, unde a este un număr real mai mare decât zero și diferit de unu. De aceea și baza logaritmului a trebuie să fie mai mare decât zero și diferită de unu. Deci încă o dată scrierea funcției logaritmice:

$y = \log_{a} x, a \in R, a > 0, a \neq 1$

Deoarece este vorba de o funcție inversă, cunoaștem deja domeniul de definiție și imaginea. Domeniul de definiție al funcției logaritmice este același cu imaginea funcției exponențiale, deci este egal cu (0, +∞). Imaginea logaritmului este atunci aceeași cu domeniul de definiție al funcției exponențiale, adică mulțimea tuturor numerelor reale.

Graficele funcțiilor logaritmice

Asemănător cu funcția exponențială, trebuie să deosebim două cazuri: când baza a aparține intervalului (0, 1) și când aparține intervalului (1, +∞). În primul caz, adică a din intervalul (0, 1), graficul arată așa:

$Graficul funcției logaritmice \log_{\frac12}x$

În cazul în care baza a aparține intervalului (1, +∞), graficul arată așa:

$Graficul funcției logaritmice \log_ex$

Privește și graficul funcției exponențiale și al inversei ei logaritmice în același grafic (cu albastru este logaritmul, cu roșu funcția exponențială):

$Graficul funcțiilor y=e^x și y=\log_ex — curbele sunt simetrice față de bisectoarea cadranelor I și III (linia gri întreruptă)$

De ce trec graficele prin punctul (1, 0)

Ambele grafice taie axa Ox în punctul x = 1. Este firesc, având în vedere că orice funcție exponențială trece prin punctul (0, 1). Deoarece logaritmul este funcția inversă, această funcție trebuie să treacă întotdeauna prin punctul (1, 0). Este logic. Dacă graficul trece prin punctul (1, 0), înseamnă că pentru intrarea x = 1 avem ieșirea f(x) = 0.

În cazul logaritmilor aceasta înseamnă că căutăm exponentul la care, ridicând baza, obținem unu. Care este acest exponent? Numai zero. Orice număr la puterea zero este unu, de aceea, oricare ar fi baza, funcția logaritmică va trece prin punctul (1, 0), pentru că orice număr la puterea zero este unu. (Observație: nu uita că baza nu poate fi chiar orice: a > 0 și a ≠ 1.)

Regulile de calcul cu logaritmi (formule)

Urmează câteva relații și formule importante pe care le putem enunța despre logaritmi:

Presupunem că baza a este într-adevăr baza unui logaritm, adică a > 0, a ≠ 1. Fie mai departe x₁ și x₂ numere reale pozitive oarecare. Atunci au loc:

$\begin{array}{rcl} \log_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) & = & \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2} \\ \log_{a} (\frac{x_{1}}{x_{2}}) & = & \log_{a} x_{1} - \log_{a} x_{2} \\ \log_{a} x^{r} & = & r \cdot \log_{a} x \forall r \in R \\ \log_{a} \sqrt[n]{x} & = & \frac{1}{n} \log_{a} x \forall n \in N^{*} \end{array}$

Unele relații care rezultă direct din definiția logaritmului:

$\begin{array}{rcl} \log_{a} 1 & = & 0 (a^{0} = 1) \\ \log_{a} a & = & 1 (a^{1} = a) \\ a^{\log_{a} x} & = & \log_{a} a^{x} = x \end{array}$

Cum exprimăm un logaritm prin logaritmul natural

Uneori se întâmplă ca, de exemplu, pe calculator să nu avem la dispoziție logaritmul într-o bază oarecare, ci doar cel natural și cel zecimal. Ce facem dacă trebuie să calculăm un logaritm în altă bază? Există o formulă care te ajută. Are loc:

$\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$

Dacă alegem pentru b numărul lui Euler, obținem formula:

$\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$

În primul capitol am avut nevoie să calculăm logaritmul numărului 8 în baza 2. Cu ajutorul logaritmului natural îl putem calcula astfel:

$\log_{2} 8 = \frac{\ln 8}{\ln 2} = 3$

Nu este însă obligatoriu să folosești logaritmul natural, poți folosi tot atât de bine și pe cel zecimal, formula permite acest lucru. Deci la fel de bine are loc:

$\log_{2} 8 = \frac{\lg 8}{\lg 2} = 3$

« Anterior: Radicali

Următor: Funcția de gradul al doilea »