Calculul cu procente

Procentele exprimă de obicei o parte relativă dintr-un întreg, întregul însuși fiind 100%. Orice procent se poate scrie ca fracție.

Procentul ca parte dintr-un întreg

Folosim procentele atunci când vrem să exprimăm o parte dintr-un întreg. Procentele pot înlocui expresii precum „un sfert din clasă a luat nota 5” sau „unul din doi oameni este bărbat”. Avem mereu un întreg, de exemplu toată clasa de elevi, și spunem că un sfert dintre ei au luat nota 5. Dacă în clasă sunt 32 de elevi și un sfert dintre ei au luat nota 5, numărul total al elevilor cu nota 5 este:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{ceea ce este același lucru cu}\frac{32}{4}=8$$

În al doilea caz să luăm un oraș cu aproximativ 60.000 de locuitori. Dacă unul din doi locuitori este bărbat, înseamnă că jumătate dintre ei sunt bărbați, ceea ce scriem astfel:

$$\frac{1}{2}\cdot 60.000=30.000\text{ceea ce este același lucru cu}\frac{60.000}{2}=30.000$$

Mai departe, am putea spune că „fiecare al o sutelea om din oraș este matematician”. Atunci în oraș avem $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$ de matematicieni. „Fiecare al o sutelea” înseamnă același lucru cu „o sutime din locuitori”.

Acum putem introduce noțiunea de procent. Un procent, pe care îl scriem 1%, înseamnă o sutime din întreg. Asta înseamnă că a spune „fiecare al o sutelea om din oraș este matematician” și „un procent dintre oamenii din oraș sunt matematicieni” este același lucru. Un procent din întreg se calculează înmulțind întregul cu $\frac{1}{100}$ sau împărțindu-l la 100, e totuna.

Procentele se transformă ușor în fracții, cu care apoi putem lucra mai departe. Dacă am spune că „în oraș x% dintre oameni au părul închis la culoare”, este același lucru cu a spune „în oraș $\frac{x}{100}\cdot 60.000$ de oameni au părul închis la culoare”. 100% reprezintă atunci întregul, adică toți locuitorii. Propoziția „100% dintre elevi au trecut în clasa următoare” înseamnă că au trecut toți elevii. Propoziția „0% dintre elevi au rămas repetenți” spune că nimeni nu a rămas repetent. Exemple:

1. 35% dintre locuitorii orașului merg cu autobuzul. Câți oameni merg cu autobuzul? 35% este același lucru cu $\frac{35}{100}$ din întreg (= „treizeci și cinci de sutimi din întreg”). Calculăm astfel: $\frac{35}{100}\cdot 60.000$. Se poate calcula simplu: mai întâi împărțim 60.000 la o sută și rezultatul îl înmulțim cu 35. În esență facem această transformare:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60.000=\frac{35\cdot 60.000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21.000$$

   Ne putem imagina și că mai întâi calculăm numărul de locuitori care corespunde unui procent: $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$. Unui procent îi corespund 600 de locuitori. Noi vrem să aflăm 35% dintre locuitori, deci acești 600 de locuitori îi mai înmulțim doar cu 35: 35 · 600 = 21.000.

2. Tudor câștigă în medie 200 de lei pe zi. Azi a câștigat doar 75% din câștigul său mediu. Cât a câștigat Tudor? Procedeul este tot același. Întregul este 200, iar 75% îl transformăm în fracția $\frac{75}{100}$. Această fracție o putem simplifica la fracția $\frac{3}{4}$. Înmulțim întregul cu această fracție:

   $$\frac{3}{4}\cdot 200=\frac{3\cdot 200}{4}=3\cdot 50=150$$

3. În ziua următoare lui Tudor i-a mers mai bine și a câștigat 150% din câștigul său mediu. Cât a câștigat? Putem avea oare mai mult de 100%, când am spus că 100% reprezintă întregul? Da, se poate. La fel cum cineva poate câștiga „de trei ori mai mulți bani decât în medie”, tot așa poate câștiga 150% din media sa.

   Procedăm exact la fel. Transformăm 150% în fracția $\frac{150}{100}$ și cu această fracție înmulțim câștigul mediu al lui Tudor, adică 200:

   $$\frac{150}{100}\cdot 200=\frac{150\cdot 200}{100}=\frac{150\cdot 2}{1}=150\cdot 2=300$$

Procentele și regula de trei simplă

O parte dintr-un întreg exprimată în procente se poate transforma ușor într-o regulă de trei simplă. Să rămânem la Tudor, care câștigă în medie 200 de lei pe zi, iar azi a câștigat 75% din câștigul său mediu. Cu regula de trei simplă putem scrie astfel:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 200\text{ lei}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ lei}\end{array}$$

Deoarece este vorba de proporționalitate directă, obținem forma:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{200}$$

Înmulțim ecuația cu 200 și avem:

$$\frac{75\cdot 200}{100}=x$$

Iar de aici ajungem ușor la rezultat:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 200}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 2}{1}& =& x\\ x& =& 75\cdot 2\\ x& =& 150\end{array}$$

Vedem că am obținut același număr.

Și dacă știm partea, dar nu știm întregul?

În exemplele de până acum am pornit mereu de la valoarea exactă a întregului și trebuia să calculăm din ea o anumită parte exprimată în procente. Dar dacă știm tocmai partea și nu știm întregul? Exemplu: Tudor are 120 de cărți de joc cu un monstru verde mare. Cu toate că este un număr respectabil de cărți cu monștri verzi, el are totuși doar șaizeci la sută din cărțile pe care le are Ioana. Câte cărți are Ioana?

Aici cunoaștem partea, dar nu cunoaștem întregul – pe acesta trebuie să-l aflăm. Știm că 120 de cărți corespund la 60% din cărțile Ioanei. Ca să aflăm câte cărți corespund unui procent, ajunge să împărțim o sută douăzeci la șaizeci. Obținem doi: 120:60 = 2. Un procent din cărți înseamnă de fapt două cărți cu monstrul verde. Deoarece calculăm întregul – iar acesta este întotdeauna 100% – înmulțim acest număr de cărți cu o sută. Și avem 200 de cărți, care este rezultatul corect.

Ne putem verifica calculând 60% din 200: pur și simplu înmulțim

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Vedem că 60% din 200 este 120, exact numărul de cărți cu monstrul verde pe care le are Tudor.

Adunarea procentelor

Când avem de rezolvat o problemă cu procente, cel mai bine este să calculăm în loc de procente valorile exacte și apoi să le adunăm. Enunțul ar putea suna cam așa: Marin câștigă 3000 de lei, Stelian 4000, iar Lucia 5000 de lei. Calculează cât câștigă Simona, care câștigă 30% din ce câștigă Marin, plus 40% din ce câștigă Stelian, plus 25% din ce câștigă Lucia.

Aici avem trei expresii cu procente, dar fiecare provine dintr-un alt întreg. Marin, Stelian și Lucia câștigă fiecare o altă sumă de bani. Așadar mai întâi calculăm 30% din salariul lui Marin. Un procent din el este 3000:100 = 30. Apoi înmulțim 30 · 30 și obținem 900. Urmează 40% din salariul lui Stelian. Un procent este 4000:100 = 40. Din nou înmulțim cu 40 și avem 40 · 40 = 1600. Ultima parte este 25% din salariul Luciei. Ea câștigă 5000, din care un procent este 5000:100 = 50. Înmulțind cu 25 obținem 50 · 25 = 1250. Acum adunăm rezultatele parțiale: 900 + 1600 + 1250 = 3750. Simona câștigă 3750 de lei, ceea ce este un venit destul de frumos.

Totuși, se poate întâmpla să trebuiască într-adevăr să adunăm procente. Procentele se pot aduna doar dacă au aceeași bază, același întreg. Așadar, dacă Costin ar câștiga 20% din ce câștigă Stelian plus 30% din ce câștigă Stelian, putem aduna procentele, pentru că este aceeași bază – ambele expresii se calculează din salariul de bază al lui Stelian. Rezultatul va fi deci 20% + 30% = 50%. Costin câștigă jumătate din ce câștigă Stelian, adică două mii.

Capcana adunării în lanț a procentelor

Acum imaginează-ți următoarea situație: Mihai a câștigat în primul an 2000 de lei. În al doilea an i s-a făcut o mărire și salariul i-a crescut cu 30%. În al treilea an a primit din nou o mărire și salariul i-a crescut iar, deși de data asta doar cu 10%. Întrebarea este: cât câștigă acum Mihai?

Acest tip de probleme te îndeamnă puternic să aduni procentele ca în cazul precedent. La urma urmei – aparent – calculăm tot cu aceeași bază, salariul lui Mihai. Așa că calculăm 30% + 10% și adăugăm rezultatul la salariul de bază. Mihai ar câștiga astfel 2800 de lei. Dar nu este așa. Să parcurgem pașii.

În primul an a primit 2000. În al doilea an a primit 2000 plus 30%, adică 2600, după cum probabil ai calculat deja. Iar în anul următor i s-a mărit salariul cu zece la sută. Dar atenție! Baza nu mai sunt cei 2000 de lei pe care i-a avut în primul an. Baza este acum două mii șase sute! Și, după cum știm, procentele se pot aduna numai dacă se calculează din aceeași bază. În cazul nostru baza este diferită. Prima dată a fost 2000, iar acum este 2600. Așadar, în ultimul an Mihai a primit 2600 plus 10%, adică 2860.

Rezolvarea cu 2800 a fost deci greșită și, în plus, l-am fi păgubit pe bietul Mihai cu 60 de lei. Nu-l nedreptăți pe Mihai!

Cumpără-ți un manual de matematică la reducere!

Un exemplu clasic este și cel cu reducerea. Imaginează-ți că într-un magazin există un manual de matematică pe care ți-l dorești foarte mult de la Moș Crăciun, de ziua ta. În fond, ce altceva ți-ai dori, nu-i așa? :-)

Înainte de Crăciun, însă, cartea se scumpește cu 20%. Îți zici că mai bine aștepți și o cumperi după sărbători. Ai făcut bine, pentru că după sărbători magazinul ieftinește cartea cu 20%. Întrebarea este: costă cartea la fel ca înainte de scumpire? Sau costă mai mult sau mai puțin?

Bunul-simț al unora spune din nou că va costa la fel, dar nu este adevărat. Să calculăm. Să zicem că cartea costa 100 de lei. O scumpire de 20% înseamnă că cartea a devenit mai scumpă cu $\frac{20}{100}\cdot 100=20$ de lei. Cartea a costat deci 120 de lei.

Dar reducerea de 20% nu se mai calculează din baza 100, ci din baza 120! Asta înseamnă că cartea se ieftinește cu $\frac{20}{100}\cdot 120=24$ de lei. După reducere, cartea costă 96 de lei.

(Dar, la drept vorbind, cine ar mai cumpăra un manual de matematică, când ai aici toate explicațiile ;-))

Promilele

Promilele se folosesc cel mai des la măsurarea alcoolului din sângele șoferului. Unii cred greșit că promila este a mia parte dintr-un procent, dar este o greșeală, ai grijă. Promila este a mia parte din întreg. În rest, cu promila se calculează exact ca și cu procentele. Dacă vrei să afli x la mie din 5000, calculezi $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. În loc de 100, la numitorul fracției este 1000. Trei la mie din 5000 este deci $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Promila se notează cu simbolul ‰. Avem astfel $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Mai multe în articolul separat despre promile.

Scrierea procentelor

În română, semnul procentului se scrie lipit de număr, fără spațiu: 100%. Forma cu spațiu, 100 %, o vei întâlni în alte limbi (de exemplu în cehă sau franceză), așa că nu te mira dacă o vezi într-un text străin.

Punctul procentual

Pe lângă procentele obișnuite, mai putem avea și puncte procentuale. Care este diferența? Imaginează-ți că acum doi ani browserul Firefox era folosit de 20% dintre oameni, iar anul acesta îl folosesc deja 30%. Care este creșterea dintre acești doi ani? Ar fi o greșeală să spunem că creșterea este de zece procente. Dacă Firefox era folosit mai întâi de 20% dintre oameni și apoi de 30%, înseamnă că acum îl folosește cu jumătate mai mulți oameni decât înainte. Adică o creștere de cincizeci la sută.

Dar e puțin ciudat să spunem că creșterea este de 50%, când pentru toată lumea ar fi mai clar să spunem că numărul de procente a crescut cu zece. Și tocmai pentru asta avem punctele procentuale. În cazul acesta putem spune că creșterea popularității browserului Firefox este de zece puncte procentuale. Punctele procentuale le folosim când vrem să exprimăm diferența simplă dintre două date procentuale.