Cum construim un triunghi

Triunghiul este un poligon cu exact trei laturi. Laturile se notează cu litere mici, de obicei a, b, c. Triunghiul are și trei vârfuri, notate cu litere mari, de obicei A, B, C. Latura a corespunde segmentului BC, latura b segmentului AC și latura c segmentului AB. Latura a este întotdeauna opusă vârfului A, și la fel pentru celelalte laturi.

Cunoaștem toate cele trei laturi

Dacă cunoaștem lungimile tuturor celor trei laturi, construcția triunghiului este foarte simplă. Alegem una dintre laturi, de exemplu AB, și o trasăm ca pe un segment obișnuit. Apoi trebuie să aflăm unde se găsește al treilea punct. Se face simplu: luăm compasul, punem vârful lui în punctul B și trasăm un cerc cu raza egală cu lungimea laturii BC, de exemplu cinci centimetri. Astfel aflăm toate locurile în care se poate afla punctul C, ca să fie la exact cinci centimetri de punctul B. După aceea facem același lucru cu latura AC și punctul A. Acum avem două cercuri, iar punctul lor de intersecție este un punct aflat față de vârful A la distanța dată și, la fel, față de punctul B.

Cunoaștem două laturi și înălțimea

Fiecare latură a triunghiului are înălțimea ei, definită ca perpendiculara dusă din vârful opus pe latura respectivă. Dacă perpendiculara nu intersectează direct latura, trebuie să prelungim latura până în locul în care se întâlnește cu perpendiculara. Proprietatea de bază a înălțimii este deci că este perpendiculară pe latura căreia îi aparține. Acest lucru se folosește adesea în probleme de calcul, pentru că putem aplica teorema lui Pitagora. Înălțimea pe latura c se notează de obicei cu litera mică h și cu un indice jos, care arată latura căreia îi corespunde înălțimea. Deci, în cazul nostru, h_c. Piciorul perpendicularei (punctul de intersecție al laturii cu perpendiculara) se notează asemănător, doar că în loc de h scriem litera mare H: H_c.

Am dus înălțimea din vârful C. Celălalt capăt se află pe latura opusă AB (adică latura c), iar segmentul CH_c este perpendicular pe latura c. Punctul H_c se numește piciorul înălțimii, iar latura c se numește bază. Piciorul înălțimii se notează de obicei cu litera H și cu un indice jos, care arată vârful din care pornește înălțimea. În cazul de față este vârful C.

Înălțimea se construiește destul de ușor: iei rigla și duci perpendiculara pe latura c astfel încât să treacă exact prin punctul C. Atât.

Putem duce înălțimea din fiecare vârf al triunghiului. Toate înălțimile se intersectează apoi într-un punct numit ortocentru. Ortocentrul poate să se afle în interiorul triunghiului, dar nu e obligatoriu. Într-un triunghi ascuțitunghic, ortocentrul se află în interiorul triunghiului.

Cunoaștem două laturi și mediana

În afară de înălțime, fiecare triunghi are și trei mediane. Mediana este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Toate cele trei mediane se intersectează într-un singur punct, numit centrul de greutate. Acesta împarte fiecare mediană în raportul 2:1: partea medianei dintre vârf și centrul de greutate este de două ori mai lungă decât partea dintre centrul de greutate și mijlocul laturii. Medianele se notează cu litera mică m și cu un indice jos, care arată latura căreia îi corespund. Centrul de greutate se notează de obicei cu litera mare G.

Dacă cunoști două laturi și mediana uneia dintre ele, triunghiul se construiește foarte ușor. Începi din nou cu latura AB, apoi afli unde se găsește punctul C trasând două cercuri: primul cu centrul în punctul B (sau A, dacă cunoști lungimea AC) și al doilea cu centrul în mijlocul laturii AB. Punctul în care se intersectează cercurile este punctul C căutat. Procedeul este același ca în prima construcție, doar că, în loc de triunghiul ABC, construiești mai întâi triunghiul M_cBC, din care afli vârful C căutat.

Cunoaștem două laturi și o altă mediană

Mai întâi privește desenul, ca să vezi cam cum ar trebui să arate:

Elementele marcate cu roșu le cunoaștem și după ele trebuie să construim întregul triunghi. Procedăm astfel – completăm acest triunghi până la un patrulater, iar după patrulater construim restul. Figura următoare explică limpede (reține că lungimea BD este egală cu dublul lungimii m_b).

Acest patrulater se construiește simplu. Mai întâi construim triunghiul ABD. Lungimea laturii AB o cunoaștem, lungimea laturii BD este 2m_b, iar lungimea AD este egală cu lungimea BC. Punctul C îl aflăm fie găsind punctul M_b, care este mijlocul segmentului BD, apoi trasăm semidreapta AM_b, iar lungimea AC este 2AM_b. A doua variantă este să construim o dreaptă paralelă cu latura AB; punctul C se va afla pe această dreaptă, la distanța |AB| de punctul D.