Unghiul

Dacă ai un unghi și vrei să îl copiezi în alt loc, poți folosi metoda transportării unghiurilor.

Ce este un unghi

Definiția unghiului nu este tocmai simplă și există mai multe variante. Pentru nevoile noastre ar putea fi suficientă această variantă: unghiul este partea din plan delimitată de două semidrepte care au aceeași origine. Important în această definiție este că unghiul nu înseamnă doar cele două laturi, ci întreaga suprafață, tot planul pe care îl cuprind cele două laturi. Vezi figura următoare:

Figura anterioară nu a fost însă pe deplin corectă, deoarece nu am precizat despre ce unghi vorbim. La prima vedere ne-am putea imagina sub unghiul ABC suprafața amintită, dar la fel de bine ne-am putea imagina cealaltă parte a planului:

De aceea, când scriem unghiurile, ar trebui să distingem dacă ne referim la un unghi convex (cel care are mai puțin de 180°) sau la un unghi concav (mai mult de 180°). Unghiul concav se mai poate numi și unghi reflex. Acest lucru se poate scrie, de exemplu, cu ajutorul unghiului orientat.

Unghiul poate avea orientare pozitivă sau negativă. În cazul orientării pozitive înaintăm în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic), iar în cazul celei negative în sensul acelor de ceasornic. Așadar, la scrierea unghiului ABC este menționată prima semidreapta BA și a doua semidreapta BC. În sens pozitiv ne uităm la semidreapta BA și înaintăm mai departe în sens trigonometric. În exemplul nostru de mai sus ne-ar ieși prima figură, unghiul convex. Dacă am alege sensul negativ, am obține unghiul concav, adică a doua figură. În mod obișnuit se lucrează cu sensul pozitiv și în acest articol scrierile vor fi făcute în sens pozitiv.

Unghiul se compune deci din două laturi, care îl delimitează, din vârful unghiului, din care pornesc semidreptele, și din suprafața pe care o delimitează laturile unghiului. Dacă avem unghiul ABC, laturile unghiului sunt BA și BC, iar vârful este B.

Măsura unghiului

La fel cum putem măsura lungimea unui segment, putem măsura și mărimea unui unghi. Aceasta se măsoară fie în măsura clasică în grade, pe care sigur o cunoști, fie în radiani. Măsura în grade este simplă: 90° este unghiul drept (de exemplu, unghiurile interioare ale pătratului au fiecare 90°), 180° este unghiul alungit (îl formează, de pildă, semidreptele opuse), iar 360° este unghiul plin (îl formează semidreptele care se suprapun – un astfel de unghi este format de tot planul din jur). Gradul se împarte mai departe în minute (se notează ′) și secunde (se notează ″). Un grad are 60 de minute, iar un minut are șaizeci de secunde. 1° = 60′ și 1′ = 60″.

Figuri ale diferitelor unghiuri:

Măsura în radiani este ceva mai greu de imaginat, deoarece aici se lucrează cu radiani, care sunt adimensionali. Mărimea radianului și alte proprietăți le-am descris deja la funcțiile trigonometrice, așa că nu mă voi repeta.

După mărime, unghiurile se mai pot împărți în unghi ascuțit, care are mai puțin de 90°, și unghi obtuz, care are între 90° și 180°. Acestea sunt, ca să zicem așa, o submulțime a unghiurilor convexe, pe care le-am prezentat mai sus. Mai mult de 180° are unghiul concav, care nu se mai împarte.

Perechi de unghiuri

Unele perechi speciale de unghiuri au diferite proprietăți despre care e bine să știi.

• Unghiurile opuse la vârf sunt unghiuri care au vârful comun, iar laturile lor sunt semidrepte opuse. Unghiurile opuse la vârf sunt întotdeauna congruente, au aceeași măsură.

• Unghiurile adiacente suplementare sunt unghiuri care au o latură comună, iar celelalte laturi sunt semidrepte opuse. Suma unghiurilor adiacente suplementare este întotdeauna egală cu 180°, adică cu unghiul alungit.

• Unghiurile corespondente sunt unghiuri ale căror prime laturi sunt paralele, iar celelalte se află pe aceeași dreaptă. Trebuie să se respecte și condiția ca unghiurile să aibă aceeași orientare. Unghiurile corespondente sunt congruente.

Mai există și alte tipuri de unghiuri, dar acestea sunt doar poziții care se pot deduce pe baza celor trei amplasări descrise mai sus.

Operații cu unghiuri

Cu unghiurile putem efectua anumite operații elementare. Cea mai simplă este adunarea. Din punct de vedere numeric nu prea ai ce greși, aduni pur și simplu măsurile unghiurilor. Dacă un unghi are mai mult de 360°, de obicei se reduce la o formă mai simplă, undeva în intervalul 0° − 360°. Pe scurt, ca și cum ai lucra într-un sistem de numerație cu baza trei sute șaizeci. Asemănător, dacă într-un exercițiu ai minute sau secunde, trebuie să calculezi în sistemul sexagesimal (ca la un ceas obișnuit).

Deci, ca să fim siguri, un exemplu rezolvat. Adună aceste unghiuri: α = 183° 51′ și β = 222° 24′. Mai întâi calculăm minutele 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (procedeul este simplu, împarți 75 la șaizeci. Câtul indică numărul de grade, iar restul numărul de minute rămase). Acum calculăm gradele: 183° + 222° = 405°. La acest rezultat parțial adunăm rezultatul anterior 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Acum vom scădea din acest unghi câte 360 până când ajunge în intervalul dintre 0 și 360. Scădem pentru că, dacă pe hârtie parcurgem un unghi de 360°, ajungem din nou la început, iar un unghi de 361° va arăta pe hârtie la fel ca un unghi de 1°. Ajungem la acest calcul: 406° 15′ = 46° 15′.

• Wikipedia