Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor

Orice număr rațional se poate scrie sub formă de fracție. O fracție are două părți: cea de sus se numește numărător, iar cea de jos numitor. Există și fracții etajate, adică fracții care au la numărător sau la numitor o altă fracție. Apropo, toate semnele dintre fracții (plus, minus, egal etc.) se scriu întotdeauna la nivelul liniei de fracție, nu la nivelul numărătorului și nici la cel al numitorului. Și, de altfel, știai că cinci din patru oameni au probleme cu fracțiile?

Informații de bază

O fracție are următoarea formă:

$$\frac{\text{numărător}}{\text{numitor}}$$

Un exemplu de fracție este

$$\frac{2}{5},$$

adică două cincimi. Numitorul se numește așa pentru că numește fracția. O cincime, o treime, o șesime… acesta este numele fracției și el provine de la numărul aflat sub linia de fracție. Numărătorul, în schimb, arată câte astfel de părți luăm; în exemplul de mai sus au fost două cincimi. Atât despre denumiri.

La numărător și la numitor poate fi, în principiu, orice număr sau chiar o altă fracție, dar de cele mai multe ori întâlnim fracții la care atât numărătorul, cât și numitorul sunt numere naturale.

Fracția este doar o altă scriere a împărțirii: valoarea fracției o aflăm împărțind numărătorul la numitor. În general, dacă avem fracția $\frac{a}{b}$, valoarea ei este numărul a:b. Fracția de mai sus (două cincimi) are deci valoarea 2:5, adică 0,4.

Aducerea la forma ireductibilă

Cu fracțiile putem face diverse operații și le putem schimba forma – le putem amplifica și simplifica – fără ca valoarea lor să se schimbe. Se poate înțelege ușor și în cuvinte: de exemplu, o jumătate are aceeași valoare ca două sferturi sau patru optimi. Asta se întâmplă pentru că fracția este doar o împărțire deghizată. Iar la o jumătate putem ajunge împărțind mai multe perechi de numere diferite: patru împărțit la opt este o jumătate, zece împărțit la douăzeci este tot o jumătate. De aceea fracțiile

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

au aceeași valoare.

După cum se vede, la celelalte fracții cu aceeași valoare am ajuns înmulțind cu doi atât numărătorul, cât și numitorul fracției inițiale 1/2. După înmulțire a ieșit fracția 2/4, două sferturi. Dacă și la această fracție înmulțim numărătorul și numitorul cu doi, obținem fracția 4/8, patru optimi. În acest caz am amplificat fracția.

Operația inversă amplificării este simplificarea fracției, la care împărțim numărătorul și numitorul la același număr. Ca să putem simplifica o fracție, trebuie să găsim un număr la care atât numărătorul, cât și numitorul se împart exact. Simplificarea se folosește foarte des în practică, pentru că prin ea fracția devine mult mai simplă și se lucrează mai ușor cu ea. Dacă avem fracția 12/18, dintr-o privire observăm că ambele numere sunt pare, deci divizibile cu doi. Am putea simplifica fracția cu 2, dar la a doua privire vedem că atât numărătorul, cât și numitorul sunt divizibile și cu 6. Dacă simplificăm fracția cu 6, obținem o fracție mai simplă decât dacă am simplifica doar cu 2. De aceea simplificăm fracția cu 6 și obținem fracția 2/3.

Această fracție nu se mai poate simplifica: nu există niciun număr (mai mare decât unu) la care să se împartă exact și numărătorul, și numitorul. O fracție care nu se mai poate simplifica se numește fracție ireductibilă. Încearcă să lucrezi mereu cu fracții ireductibile: când ai de lucrat cu fracții, uită-te mai întâi dacă unele dintre ele nu se pot simplifica. Vei economisi timp. Încă un exemplu:

$$\frac{24}{42}$$

La ce număr se împart și 24, și 42 în același timp? Sunt ambele numere pare, deci sigur la 2. Împărțim numărătorul și numitorul la doi:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Mai există vreun număr la care se împart ambele numere? Da, de data aceasta 3.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Mai există un număr care să împartă și numărătorul, și numitorul? Nu, fracția este ireductibilă.

Înmulțirea fracțiilor

Poate te va mira, dar înmulțirea și împărțirea sunt mai simple la fracții decât adunarea și scăderea. Dacă ai de înmulțit două fracții, înmulțești pur și simplu numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și numitorul cu numitorul. Atât. Un exemplu de înmulțire a fracțiilor:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

La înmulțirea fracțiilor există în plus un alt fel de simplificare. Nu trebuie să simplifici doar în interiorul aceleiași fracții, ci poți simplifica și în cruce. Dacă numărătorul primei fracții se poate simplifica cu numitorul celei de-a doua, poți s-o faci și îți ușurezi înmulțirea. Exemplu (numerele simplificate sunt încadrate):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Ce am făcut? Am împărțit și pe 4, și pe 8 la patru. Valoarea produsului a rămas neschimbată. Dacă nu am fi simplificat acum, am fi putut simplifica abia după înmulțire.

Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg se reduce ușor la înmulțirea a două fracții, scriind numărul întreg c ca c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

După cum se vede, când înmulțești o fracție cu un număr întreg, este suficient să înmulțești cu acel număr numărătorul fracției.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Împărțirea fracțiilor

Împărțirea fracțiilor este practic la fel ca înmulțirea. Dacă vrei să împarți o fracție la alta, o răstorni pe a doua (împărțitorul) și înmulțești fracțiile ca de obicei. Un exemplu simplu de împărțire a fracțiilor (observă că după răsturnarea fracției putem simplifica 12 și 6):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Am transformat împărțirea în înmulțire răsturnând fracția $\frac{6}{11}$ în fracția $\frac{11}{6}$ și înmulțind-o cu cealaltă fracție, neschimbată. De ce funcționează așa? Ajunge să ne gândim la un exemplu mai simplu, de pildă împărțirea la o jumătate. Dacă împărțim

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

ce facem de fapt? Aflăm de câte ori încape o jumătate în zece. În fiecare unitate încape o jumătate de exact două ori (de două ori o jumătate este unu), deci în zece încape de douăzeci de ori. La același rezultat ajungem dacă înmulțim doi cu zece – tot douăzeci. Și ce valoare obținem dacă răsturnăm o jumătate? Doi supra unu, adică doi.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Pe scurt, avem:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Adunarea fracțiilor

Adunarea fracțiilor este ceva mai complicată. Fracțiile se pot aduna numai dacă au același numitor. Dacă nu au același numitor, trebuie să le aducem la un numitor comun. După aceea procedăm simplu, ca la înmulțire: adunăm numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua. Spre deosebire de înmulțire, însă, păstrăm același numitor. Mai întâi un exemplu de adunare a fracțiilor cu același numitor:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Are sens? O jumătate plus cinci jumătăți fac șase jumătăți – are destul de mult sens.

Dacă fracțiile nu au același numitor, ceea ce este cazul mai frecvent, trebuie să le aducem la un numitor comun, adică să amplificăm una dintre fracții sau pe amândouă, astfel încât să obținem același numitor. Să zicem că vrem să adunăm aceste două fracții:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Prima fracție are la numitor 3, a doua are 2. Așa le-am aduna greu, dar dacă amplificăm prima fracție cu 2, va avea la numitor 6, iar dacă amplificăm a doua fracție cu 3, va avea la numitor tot 6. Acum ambele fracții au același numitor și le putem aduna simplu. Deci, în primul pas, amplificăm fracțiile astfel încât să aibă același numitor:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Iar acum adunăm numai numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Atenție: la adunare nu putem simplifica între fracții, ca la înmulțire. De exemplu, după transformare aveam la numitorul primei fracții 6, iar la numărătorul celei de-a doua 15. Totuși, nu putem simplifica cu 3:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Această simplificare ne-am permite-o doar dacă am înmulți fracțiile:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Cum aducem, în general, două fracții la numitor comun? Amplificăm prima fracție cu numitorul celei de-a doua și a doua fracție cu numitorul primei. În general, se scrie așa:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Prima fracție am amplificat-o cu d, adică numitorul celei de-a doua fracții. A doua fracție am amplificat-o cu b, adică numitorul primei fracții. Un exemplu concret:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Prima fracție am amplificat-o cu 8, a doua cu 4. După aceasta, fracțiile se pot aduna.

Formula generală pentru adunarea fracțiilor arată astfel:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Scăderea fracțiilor

Scăderea fracțiilor se face exact ca adunarea, doar că numărătorii rezultați nu se adună, ci se scad. Formula generală de la adunare devine:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Un exemplu concret; mai întâi aducem fracțiile la numitor comun:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Iar acum scădem numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Regula produselor încrucișate

La ecuații putem folosi regula produselor încrucișate, care simplifică o egalitate între două fracții. În practică nu este altceva decât două transformări echivalente ale ecuației. Să luăm deci o ecuație cu două fracții

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Putem transforma această ecuație înmulțind-o cu numitorul primei fracții și apoi cu cel al celei de-a doua. Mai întâi înmulțim ecuația cu numitorul primei fracții, adică cu expresia b. Obținem

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Apoi înmulțim ecuația cu expresia d și obținem

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Prima fracție o simplificăm cu b, iar a doua cu d. Rezultatul este ecuația

$$ad=bc.$$

Putem considera deci aceasta ca pe o formulă: dacă avem o ecuație sub forma a două fracții, o putem transforma astfel:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Urmează un exemplu. În primul pas scriem fracțiile după formula de mai sus, iar în al doilea pas doar ajustăm ușor expresiile din ambii membri.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Mai departe, ecuația s-ar rezolva ca o ecuație de gradul al doilea obișnuită, dar asta depășește subiectul acestui articol.

Subiecte înrudite

Fracțiile apar adesea la simplificarea expresiilor; despre asta este articolul fracții algebrice. Există și un algoritm special pentru împărțirea unui polinom la un polinom.