Rätvinklig triangel

En rätvinklig triangel har en rät inre vinkel, dvs. på 90°. Den här triangeln har flera intressanta egenskaper, som vi går igenom i den här artikeln.

Grundläggande beskrivning

Den rätvinkliga triangeln har delvis beskrivits redan i huvudartikeln om trianglar. En rätvinklig triangel har en inre vinkel på 90°. De två övriga inre vinklarna måste nödvändigtvis vara mindre än 90°, eftersom summan av de inre vinklarna annars inte skulle vara 180°. Det gäller till och med att summan av de två övriga vinklarna är exakt 90°.

En rätvinklig triangel har förstås tre sidor. Två av dem kallas kateter (de röda sidorna), det är de kortare sidorna, och den tredje sidan kallas hypotenusa (den blå sidan) — det är den längsta sidan. Hypotenusan ligger alltid mittemot det hörn där den räta vinkeln finns.

Pythagoras sats

Den kanske mest berömda matematiska satsen av alla, Pythagoras sats, gäller just i rätvinkliga trianglar. Pythagoras sats handlar om sidornas längder i en triangel. Satsen säger att ”Arean av kvadraten på hypotenusan i en rätvinklig triangel är lika med summan av areorna av kvadraterna på kateterna”. Skrivet matematiskt för vår triangel, där hypotenusan är sidan a:

$$a^2=b^2+c^2$$

Pythagoras sats i en figur, den här gången med den vanliga beteckningen där hypotenusan är c: Satsen behandlas i en separat artikel.

Arean av en rätvinklig triangel

I en rätvinklig triangel är det mycket enkelt att beräkna arean, eftersom höjderna sammanfaller med kateterna. Tänk dig den rätvinkliga triangeln från den första figuren. Hur skulle vi beräkna dess area utan att känna till några höjder? Vi kan komplettera triangeln så att det bildas en rektangel. Rektangelns sidor utgörs av triangelns kateter och de två återstående sidorna lägger vi till så att det verkligen blir en rektangel: Rektangelns area kan vi redan beräkna, det är produkten av längderna på två angränsande sidor, i vårt fall produkten av de röda sidorna AC och AB. Därmed får vi rektangelns area. Hypotenusan BC utgör dock en diagonal i rektangeln, som delar rektangeln på mitten, så om vi dividerar rektangelns area med två får vi arean av den rätvinkliga triangeln. Formeln blir alltså:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

där b och c är kateternas längder.

De trigonometriska funktionerna sinus och cosinus

I en rätvinklig triangel gäller de grundläggande trigonometriska funktionerna och sambanden mellan dem. De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus, tangens och cotangens uttrycker förhållandet mellan sidornas längder i en rätvinklig triangel. Vi tar den första triangeln till hjälp igen, den här gången med markerade vinklar.

Om vi vill ta reda på förhållandet mellan längderna på två sidor tar vi båda längderna och dividerar dem i den angivna ordningen. Till exempel får vi förhållandet mellan sidorna b:c (läses ”b till c”) genom att dividera 3/5 (sidan b har längden 3, sidan c längden 5).

Funktionen sinus arbetar sedan med förhållandet mellan två sidor och en vinkel. För vår figur gäller: om vi tar förhållandet mellan sidorna b:a får vi värdet av sinusfunktionen för vinkeln β. Cosinus fungerar på liknande sätt, men för förhållandet c:a och samma vinkel β. Det gäller alltså:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Sinus och cosinus fungerar alltid bara för de vinklar i en rätvinklig triangel som är mindre än 90°. I det här fallet för vinklarna β och γ. För de vinklarna ger sinus och cosinus alltid ett tal i intervallet ]0, 1[, så du kan komma ihåg regeln att du alltid dividerar den kortare sidan med den längre — för att få ett tal just i intervallet ]0, 1[.

Båda funktionerna arbetar dessutom med en katet och hypotenusan, aldrig med två kateter samtidigt. Eftersom du alltid dividerar den kortare med den längre kommer hypotenusan alltid att stå i bråkets nämnare. Om du tittar på formlerna ovanför stycket är det alltid a i nämnaren, och det är triangelns hypotenusa.

Den sista regeln är att sinus arbetar med den motstående kateten, medan cosinus arbetar med den närliggande kateten. Vad betyder det? Om vi har vinkeln β är den närliggande kateten den katet som utgår från punkten B, kateten c. Den motstående är den andra kateten, kateten b. Därför står sidan b i formeln för sinus och sidan c i formeln för cosinus.

Sammanfattning: sinus ger förhållandet mellan motstående katet och hypotenusan, cosinus förhållandet mellan närliggande katet och hypotenusan. Hur kan vi använda det? Om du känner vinklarna i triangeln och längden på hypotenusan eller en katet kan vi beräkna längderna på de övriga sidorna. Exempel:

För den föregående triangeln gäller:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Hur lång är sidan a? Vi vet att:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

Värdet på sinus känner vi till, längden på sidan b känner vi också till, och vi söker längden på sidan a. Vi löser ut a med hjälp av ekvivalenta omformningar:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Först multiplicerade vi ekvationen med a och sedan dividerade vi ekvationen med sinus.) På högra sidan har vi nu bara kända värden, så vi sätter in. Värdet på sinus beräknar vi på miniräknaren.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Sidan a har längden 5,83. Om du beräknar sinus på miniräknaren, se upp så att du har räknaren inställd på grader. Ett vanligt problem är nämligen att man räknar med radianer, som är ett annat vinkelmått. Det finns dock ett omvandlingssamband:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

där deg är ditt värde i grader.

De trigonometriska funktionerna tangens och cotangens

I en rätvinklig triangel kan du enkelt använda även de här två funktionerna. Återigen gäller att vi alltid arbetar med vinklar som är mindre än 90°. Till skillnad från sinus och cosinus arbetar de här funktionerna inte med hypotenusan, utan bara med kateterna. Det gäller alltså att tangens för en vinkel är lika med förhållandet mellan motstående katet och närliggande katet, och cotangens förhållandet mellan närliggande katet och motstående katet.

För den föregående triangeln gäller alltså:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Vi försöker beräkna längden på sidan AC (sidan b) i den föregående triangeln med hjälp av vinkeln β. Dess storlek känner vi från det föregående exemplet. Vi vet att:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

Vi löser ut sidan b:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(Vi multiplicerade bara ekvationen med c och lät leden byta plats.) Nu känner vi till allt som behövs för att beräkna längden på sidan b. Vi sätter in:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Redan på figuren ser vi att vi fick rätt lösning. Se bara upp igen: i formeln står i tangens ett värde i grader, medan miniräknaren kan kräva vinkeln i radianer.

Som illustration kan vi beräkna samma sida med hjälp av cotangens:

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

Vi sätter in värdena:

$$b=\frac{5}{\cot (30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Återigen fick vi rätt resultat.