Talföljder

En talföljd är en funktion vars definitionsmängd är mängden av positiva heltal. En talföljd kan vara antingen oändlig, om definitionsmängden är hela mängden av positiva heltal, eller ändlig, om definitionsmängden bara är en ändlig delmängd av de positiva heltalen. Om det inte uttryckligen sägs att talföljden är ändlig, förutsätter man att den är oändlig.

Definition av talföljd

Det här kapitlet beskriver lite närmare vad definitionen av en talföljd betyder. Du behöver inte kunna det, så om du vill kan du hoppa över hela kapitlet.

Inledningen avslöjade redan att det är en funktion som har de positiva heltalen som definitionsmängd. Värdemängden kan vara vilken mängd som helst, men här utgår vi från mängden av reella tal. Vad betyder det? Den tydligaste förändringen gäller funktionens graf. Den är inte en sammanhängande kurva, som den ofta är för vanliga funktioner, utan består av enstaka, isolerade punkter.

En talföljd kan till exempel vara talraden 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Det är en ganska tydligt given talföljd, och det borde vara klart för alla hur den fortsätter. Eftersom det är en funktion skulle en tabell över avbildningen se ut så här:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Talen i den första kolumnen (värden ur definitionsmängden) anger alltså vilken plats talet har i talföljden. I vår enkla talföljd står till exempel talet fem på tredje plats, vilket tabellen också visar. På fjärde plats står talet sju, på första ettan och så vidare. Av detta följer också att definitionsmängden för en ändlig talföljd p bör vara en mängd av formen

$$D_p=\{1,2,3,\dots ,n\},$$

så att det verkligen handlar om en ordning och ingen plats hoppas över. Mängden

$$D_p=\{1,2,3,5,7\}$$

passar till exempel inte som definitionsmängd för en talföljd, eftersom det fjärde och det sjätte elementet saknas i den.

En talföljd kännetecknas alltså av att dess termer kan ordnas på något sätt, så att varje term utom den första och den sista har en föregångare och en efterföljare. Det är en stor skillnad mot reella funktioner, där något sådant inte gäller. Om vi tar funktionen f(x) = 2x, vilket värde kommer då efter f(5/2)? Det vet vi inte, resultatet är ett reellt tal och reella tal har ingen efterföljare.

Hur man skriver en talföljd

Vi vet redan att en talföljd, något förenklat, är en numrerad rad av tal. Nu ska vi se hur man kan skriva en talföljd. Själva talföljden brukar vi namnge med en liten bokstav med nedsänkt index, till exempel a_i.

Det första sättet är att räkna upp alla värden i talföljden. Det har vi redan sett i föregående kapitel. Uppräkningen kan vara ändlig eller oändlig:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Anmärkning: Jag är inte säker på vilka parenteser som vanligen används för talföljder, och jag har inte hittat någon enhetlig konvention. Jag skulle nog inte använda måsvingar, eftersom de betecknar mängder, där ordningen inte spelar någon roll, medan ordningen mellan termerna är viktig i en talföljd.

Det andra sättet är en formel för den n:te termen i talföljden. Talföljden a_n innehöll till exempel alla jämna tal. Det kan vi uttrycka med formeln

$$a_n=2n.$$

Det nedsänkta indexet n anger vilken term i talföljden vi just räknar ut. Om vi vill veta den första termen vill vi alltså veta a₁, om vi vill veta den sjunde termen vill vi veta a₇. Den sjunde termen räknar vi ut genom att sätta in i formeln.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Det här sättet är bra, eftersom man direkt kan räkna ut vilken term som helst i talföljden. Ett annat sätt är en rekursiv definition. En rekursiv definition låter oss räkna ut nästa term om vi känner den nuvarande. Med andra ord, om vi känner termen a_n kan vi räkna ut termen a_{n + 1}.

Om vi vill ange en talföljd rekursivt måste vi ge två uppgifter: vilken term som är den första och en regel för att räkna ut term nummer (n + 1). Om vi ville ange talföljden av de positiva jämna talen rekursivt kunde vi göra det så här:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

Hur räknar vi nu? Vi vet att a₁ är lika med två. Om vi sätter in ett för n räknar vi ut a₂ genom att addera två till a₁. Vi får fyra, det andra jämna talet. Och så vidare.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Rekursiv definition passar bra när vi behöver generera en längre del av talföljden. Den passar däremot dåligt när vi vill räkna ut en viss term, eftersom vi, för att räkna ut det hundrade jämna talet, först måste räkna ut alla 99 jämna tal som kommer före det.

Det sista sättet är att ange talföljden med en graf.

För tydlighetens skull: en talföljd behöver inte ha någon enkel regel och behöver inte vara en ”vettig” rad av tal. Även den här raden av tal är en talföljd, trots att den vid första anblicken inte har någon djupare mening:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Graf för en talföljd

Talföljder har andra grafer än vanliga reella funktioner. Eftersom definitionsmängden består av de positiva heltalen består grafen av isolerade punkter.

Aritmetisk talföljd

En aritmetisk talföljd är en enkel talföljd där skillnaden mellan två på varandra följande termer alltid är densamma. Varje term är till exempel tre större än den förra, eller sjutton mindre. Skillnaden mellan termerna kallas differens (vi betecknar den d). I det första fallet är differensen tre, i det andra minus sjutton, och för talföljden av jämna tal är differensen två. Med en formel kan en aritmetisk talföljd alltså skrivas så här:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Den allmänna formeln för den n:te termen i en aritmetisk talföljd är då

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Vi tar som exempel återigen de jämna talen, där differensen är två och det första jämna talet också är två. Då gäller att vi får det andra jämna talet genom att addera två till det första. Om vi adderar två en gång till får vi det tredje jämna talet.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Om vi till exempel vill räkna ut det sjunde jämna talet sätter vi in i den allmänna formeln så här:

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Hur kan vi avgöra om en given talföljd är aritmetisk? Vi subtraherar formeln för den n:te termen från formeln för term nummer (n + 1), och om vi får en konstant differens är talföljden aritmetisk. Vi tar till exempel talföljden

$$a_n=2n+7.$$

Är den här talföljden aritmetisk? Vi börjar med att skriva term nummer (n + 1):

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Nu subtraherar vi de två uttrycken från varandra:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Vi ser att vi efter subtraktionen fick d = 2, så talföljden är aritmetisk med differensen två.

Summan av termerna i en aritmetisk talföljd

Ofta behöver vi veta summan av de första termerna i en aritmetisk talföljd. Hur kan vi göra det? Intuitivt ungefär så här. Vi håller oss till de jämna talen. Vad är summan av de tre första jämna talen? Alltså talen 2, 4 och 6. Vi kan förstås addera dem ett i taget, men det vill vi inte, vi vill ha en formel.

Vi ändrar talföljden så här: till den första termen lägger vi två och från den sista drar vi bort två. Vi får 4, 4, 4. Vi ser att vi har tre lika tal, så det räcker att multiplicera fyra med antalet termer, alltså tre. Det blir 4 · 3 = 12.

Med fem termer ser det ut så här: 2, 4, 6, 8, 10. Till den första termen lägger vi fyra och från den sista drar vi bort fyra, med de näst yttersta gör vi likadant med två.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Nu räcker det att multiplicera 6 · 5 = 30. Vad ser vi? Vi multiplicerar alltid antalet termer i talföljden med den mittersta termen. I talföljden 2, 4, 6 stod fyra i mitten och i talföljden 2, 4, 6, 8, 10 stod 6 i mitten. Hur räknar man ut den mittersta termen i allmänhet (vi kallar den p)? Vi räknar ut den som medelvärdet av den första och den sista termen i talföljden, alltså

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

För den andra talföljden blir det till exempel

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Den slutliga formeln för summan av de n första termerna i talföljden a_n ser då ut så här:

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

Formeln gäller också för ett jämnt antal termer, fast vi i härledningen bara använde ett udda antal.

Hur man räknar ut differensen

Hur räknar man ut differensen om man känner två termer i talföljden? Vi stannar vid de jämna talen. Anta att vi känner de här två termerna i talföljden

$$a_3=6,a_7=14.$$

Hur räknar vi ut differensen? Först räknar vi ut skillnaden mellan de två termerna:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Nu räcker det att dela resultatet med antalet steg mellan de två termer vi känner, alltså med skillnaden mellan deras index:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Differensen är två. Den slutliga formeln för att räkna ut differensen d, om vi känner termerna a_k och a_l, är:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Grafen för en aritmetisk talföljd visar en konstant ökning eller en konstant minskning. De isolerade punkterna i grafen ligger på en rät linje.

Geometrisk talföljd

En geometrisk talföljd skiljer sig från den aritmetiska genom att två på varandra följande termer inte har samma skillnad utan samma kvot. Den här kvoten kallas inte differens som för den aritmetiska talföljden utan kvot (vi betecknar den q). Vi kan till exempel ha en talföljd där q = 10 och den första termen är 5:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

I allmänhet gäller alltså formeln:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

Formeln för den allmänna termen i en geometrisk talföljd ser ut så här:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Den tredje termen i den föregående talföljden räknar vi till exempel ut så här:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot q^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

Geometriska talföljder kan vi dela in i ytterligare två grupper, nämligen efter vilken kvot de har. Om absolutbeloppet av kvoten är mindre än ett närmar sig hela talföljden noll. En sådan talföljd kallas konvergent. Om absolutbeloppet av kvoten däremot är minst ett närmar sig talföljden inte noll, och den kallas divergent. För en konvergent talföljd gäller en enkel formel för summan av hela serien (den gäller bara för konvergenta, eftersom en divergent serie inte har någon ändlig summa):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

Formeln för summan av de i första termerna i den geometriska talföljden a_n:

$$S_i=a_1\cdot \frac{q^i-1}{q-1}$$

Härledningen av formeln kan du läsa på Wikipedia.

Grafen för en geometrisk talföljd är, utom när kvoten är lika med ett eller noll, en mängd isolerade punkter som inte ligger på en rät linje. En typisk graf för en geometrisk talföljd ser ut så här:

Om kvoten är negativ får grafen två grenar: