Trigonometriska funktioner

I den här artikeln går vi igenom de trigonometriska funktionerna. Ordet trigonometri kommer från grekiskan: trigon betyder triangel och metron betyder mått. Vi känner till fyra grundläggande trigonometriska funktioner — sinus, cosinus, tangens och cotangens.

Grundbegrepp om triangeln

De trigonometriska funktionerna arbetar med vinklarna i en triangel, så i den här delen repeterar vi begreppen kring triangeln.

Bilden visar en triangel med hörnen A, B och C, alltså triangeln ABC. Vi hittar tre sidor: AB, BC och AC. Lägg också märke till att sidorna har fått små bokstäver som namn. Namngivningen följer en regel — mittemot hörnet A ligger sidan a, mittemot hörnet B ligger sidan b och mittemot hörnet C ligger sidan c. Varje sida är alltså uppkallad efter hörnet som ligger mittemot, det vill säga det hörn som inte är en av sidans ändpunkter.

Varje triangel har tre inre vinklar, som vi vanligtvis betecknar med de grekiska bokstäverna alfa α, beta β och gamma γ. Summan av de tre inre vinklarna är alltid 180°. Vid hörnet A har vi vanligtvis vinkeln alfa, vid B beta och vid C gamma.

Trigonometriska funktioner kan användas på något sätt i vilken triangel som helst, men oftast arbetar vi bara med en rätvinklig triangel. En rätvinklig triangel är en triangel med en rät vinkel, det vill säga en vinkel på 90°. Den kan till exempel se ut så här:

I en rätvinklig triangel har sidorna särskilda namn. Den längsta sidan ligger mittemot den räta vinkeln och kallas hypotenusa (den blå sidan på bilden). De två kortare sidorna kallas kateter (de röda sidorna). Den här triangeln är den vi kommer att intressera oss mest för i artikeln.

Benämning av kateterna i triangeln

Vi går över till den första trigonometriska funktionen, sinus. Alla trigonometriska funktioner visar sambandet mellan en vinkel i triangeln och förhållandet mellan längderna av två sidor. Vinkeln är oftast inte den räta, utan någon av de två andra. Det som matas in i en trigonometrisk funktion är alltså vinkelns storlek. Det som kommer ut är förhållandet mellan två sidor. De olika funktionerna skiljer sig åt i vilka sidor de använder.

Funktionen sinus använder den motstående kateten och hypotenusan. Vilken katet som är närliggande och vilken som är motstående i förhållande till en viss vinkel visar nästa bild.

På bilden arbetar vi med vinkeln beta, alltså vinkeln vid hörnet B. Den svarta sidan är hypotenusan, den ändras inte. Den rödmarkerade sidan c är den närliggande kateten, eftersom den ligger intill vinkeln beta. Den blåmarkerade sidan b är den motstående kateten, eftersom den ligger mittemot vinkeln beta. Det viktiga är att de här begreppen alltid hör ihop med en vinkel. Om vi i stället tittar på bilden utifrån vinkeln gamma får vi det här resultatet:

Funktionen sinus

Sinus för vinkeln alfa är lika med kvoten mellan längden av den motstående kateten och längden av hypotenusan. Vad betyder det? Om vi beräknar (till exempel på miniräknaren) sinus för vinkeln alfa får vi värdet på kvoten

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{längden av motstående katet}}{\text{längden av hypotenusan}}$$

Vi prövar det på den här triangeln och vinkeln beta: Det är en fin triangel, sidornas längder är: |a| = 5, |b| = 3 och |c| = 4. Den motstående kateten till vinkeln beta är sidan b och hypotenusan är sidan a. Vi beräknar kvoten b/a, alltså 3/5, vilket är 0,6. Sinus för vinkeln beta är alltså 0,6. Vinkeln beta är 36° 52′. Om du knappar in vinkeln på miniräknaren och beräknar sinus får du precis 0,6 (efter en liten avrundning).

Vad är det bra för

Det är bra när du känner till en vinkel och längden av en sida och behöver räkna ut de andra sidorna.

Först skriver vi upp vad vi faktiskt vet. Vi känner till vinkeln alfa. Vi vet att sinus för den vinkeln är lika med kvoten mellan den motstående kateten (sidan a) och hypotenusan (sidan b). Skrivet matematiskt:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Sinus för vinkeln känner vi till, eller kan räkna ut, och längden av sidan a känner vi också till. Det enda vi inte känner till är längden av sidan b. Därför försöker vi lösa ut den variabeln. Först multiplicerar vi ekvationen med längden av sidan b. Vi får

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

och nu behöver vi bara dividera ekvationen med sin(α), så får vi önskad form med längden av sidan b i vänsterledet:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

Längden av sidan a känner vi till, den är lika med tre. Sinus för 30° är lika med en halv. Vi sätter in:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Sidan b har längden sex.

Funktionen cosinus

Cosinus liknar funktionen sinus mycket. Begreppen kring funktionen cosinus är desamma som i föregående avsnitt, så vi går direkt till definitionen:

Cosinus för vinkeln alfa är lika med kvoten mellan längden av den närliggande kateten och längden av hypotenusan. Om vi alltså beräknar cosinus för vinkeln alfa på miniräknaren får vi värdet på kvoten

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{längden av närliggande katet}}{\text{längden av hypotenusan}}.$$

Skillnaden mellan sinus och cosinus visas tydligt på nästa bild:

Båda funktionerna använder triangelns hypotenusa, som förblir svart. Sinus använder den motstående kateten, som — med avseende på vinkeln alfa — är den röda sidan BC. Cosinus använder den närliggande kateten, som är den blå sidan AB.

Vi går tillbaka till exemplet från föregående avsnitt. Vi skulle beräkna hypotenusans längd när vi kände till längden av sidan a. Nu försöker vi beräkna längden av sidan c när vi känner till vinkeln alfa och hypotenusans längd, som vi precis räknade ut i förra exemplet: b = 6.

Vad vet vi? Vinkeln alfa är 30°, längden av sidan b är sex, och cosinus anger kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan. Den närliggande kateten är sidan c, alltså den sida vars längd vi vill bestämma. Vi skriver:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Vi behöver lösa ut |c| ur ekvationen. Det gör vi genom att multiplicera ekvationen med längden av sidan b, så att det i högerledet bara blir kvar längden av sidan c:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Vi byter bara led:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

I högerledet har vi uttryck som vi antingen känner till eller kan räkna ut. Cosinus för 30° är ungefär 0,866. Vi sätter in i ekvationen:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Det är längden av sidan c. Som vi snart ska se är cosinus för 30° ett exakt värde som är lika med

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

så den förra längden kan vi ange mer exakt:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangens och cotangens

Det finns ytterligare två trigonometriska funktioner, tangens och cotangens. Den viktigaste skillnaden mot de tidigare funktionerna är att tangens och cotangens bara arbetar med kateterna och inte använder hypotenusan.

Tangens för vinkeln alfa är lika med kvoten mellan längden av den motstående kateten och längden av den närliggande kateten. Tangens skrivs tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{längden av motstående katet}}{\text{längden av närliggande katet}}$$

Cotangens för vinkeln alfa är lika med kvoten mellan längden av den närliggande kateten och längden av den motstående kateten. Cotangens skrivs cot (ibland cotan).

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{längden av närliggande katet}}{\text{längden av motstående katet}}$$

Begreppen är återigen desamma som i de tidigare avsnitten, och det är också arbetet med funktionerna. Vi går tillbaka till det förra exemplet och försöker beräkna längden av sidan c bara utifrån vinkeln alfa och längden av sidan a, som är a = 3.

Tangens är kvoten mellan den motstående och den närliggande kateten, så matematiskt skrivet blir det så här:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Vi behöver beräkna längden av sidan c, så vi måste lösa ut uttrycket |c| ur ekvationen. Vi multiplicerar med |c| och dividerar med tan(α), på samma sätt som i de tidigare exemplen.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

Vi sätter in i högerledet, där tangens för 30° är ungefär 0,5773.

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

För tangens för 30° finns ett exakt värde:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

så den förra beräkningen kan vi göra exakt:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Exakta värden

Sinus, cosinus, tangens och cotangens har fina värden för vissa fina vinklar. Här är en grundläggande översikt:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Länkar

Relaterade begrepp på webbplatsen:

• Orienterad vinkel
• Radian