Pythagoras sats

Pythagoras sats är kanske den mest berömda matematiska satsen över huvud taget. Om Pythagoras från Samos själv kan du läsa på annat håll. Nu ger vi oss på trianglarna.

Arean av en kvadrat över en sida i triangeln

Pythagoras sats ger oss ett användbart samband mellan areorna av de kvadrater som vi konstruerar på sidorna i en rätvinklig triangel. Tänk dig att vi har den här rätvinkliga triangeln:

Rutnätet i bakgrunden visar triangelns mått. Kateten AC har längden 4 och kateten BC har längden 3. Men hur lång är sidan AB, triangelns hypotenusa? Vid första anblicken kan vi inte avgöra längden. Men vi kan försöka räkna ut den.

Först konstruerar vi en kvadrat över kateten BC. Det betyder att vi konstruerar en kvadrat vars alla sidor är lika långa som sidan BC, alltså tre. I figuren ritar vi in den så här:

Vi har fått kvadraten BCDE, vars alla sidor har längden 3. Hur stor är arean av en sådan kvadrat? Kvadratens area beräknar vi genom att multiplicera längderna av två av kvadratens sidor, så arean av kvadraten BCDE är 3 · 3 = 9. Vi ritar in en kvadrat över den andra kateten, kateten AC. En sådan kvadrat har sidlängden 4.

Den här kvadraten har arean 4 · 4 = 16. Nu ritar vi in den sista kvadraten, över hypotenusan AB:

Hur stor arean av den nya kvadraten är vet vi ännu inte, eftersom vi inte känner till längden av sidan AB. Men nu kan vi använda Pythagoras sats. Den säger nämligen att arean av den sista kvadraten ABHI är lika med summan av areorna av de två föregående kvadraterna. De två första kvadraterna hade alltså areorna 9 och 16, och den sista kvadraten har därför — enligt Pythagoras sats — arean 9 + 16 = 25. Vi ritar in det i figuren:

Nu återstår bara att svara på den sista frågan — om kvadraten ABHI har arean 25, hur lång är då kvadratens sida? Det måste vara kvadratroten ur 25, så längden av sidan AB är $\sqrt{25}=5$. Om vi kontrollerar det och beräknar arean av en kvadrat med sidlängden 5 får vi arean 5 · 5 = 25. Nu kan vi ta oss an siffror och definitioner.

Definition

Pythagoras sats lyder ungefär så här: ”Arean av kvadraten över hypotenusan i en rätvinklig triangel är lika med summan av areorna av kvadraterna över dess kateter”. Matematiskt skrivs satsen vanligtvis så här

$$c^2=a^2+b^2,$$

där a och b är kateternas längder i en triangel och c är hypotenusans längd.

Vad säger då Pythagoras sats och hur hänger den här skrivningen ihop med den föregående figuren? Arean av en kvadrat över en sida i triangeln betyder att vi tar en kvadrat vars sidlängd är lika med längden av den givna sidan och beräknar dess area. Kvadratens area beräknar vi genom att multiplicera den ena sidlängden med den andra, så om sidan har längden c blir arean A lika med: A = c · c, vilket vi med hjälp av potenser kan skriva som A = c².

Skrivningen c² = a² + b² kan vi alltså läsa som ”arean av en kvadrat med sidlängden c är lika med summan av areorna av kvadrater med sidlängderna a och b”.

Än en gång vill jag understryka att satsen bara gäller i en rätvinklig triangel, inte i en godtycklig. Pythagoras sats används klassiskt när du känner till längderna av två sidor och behöver beräkna längden av den återstående sidan. Om vi alltså känner till längderna av båda kateterna a och b och vill ta reda på hypotenusans längd c, beräknar vi areorna över kateterna, det vill säga a² + b². Då får vi arean av kvadraten över hypotenusan c, alltså c². För att få sidlängden c tar vi bara kvadratroten ur den beräknade arean. Då får vi formeln:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

där c är hypotenusans längd och a, b är kateternas längder. Om vi i stället känner till längden av hypotenusan och av den ena kateten och vill beräkna längden av den andra kateten, räknar vi på samma sätt, fast vi först löser ut den ena av kateterna i ekvationen. Om vi alltså känner till c och b och vill beräkna a, löser vi i ekvationen

$$c^2=a^2+b^2,$$

ut a² genom att subtrahera b²:

$$c^2-b^2=a^2,$$

byter plats på vänsterledet och högerledet:

$$a^2=c^2-b^2$$

och till sist drar vi roten ur:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Första exemplet

Vi har en triangel ABC där vi känner till längderna av två sidor: a = 3 och b = 4. Det är samma triangel som vi hade i början. Frågan är hur lång den återstående sidan, sidan c, är. Vi försöker räkna ut den med hjälp av formeln som vi just har tagit fram. Triangeln visas i följande figur:

Vi ser att vi känner till längderna av de två kateterna och att hypotenusans längd saknas. Därför använder vi den första, oförändrade formeln:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Vi sätter in sidlängderna för variablerna a och b:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

I formeln har vi kvadrater — som en påminnelse gäller följande samband:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Efter att ha beräknat kvadraterna får vi alltså:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Resultatet är att längden av sidan c är fem.

Andra exemplet

I det här exemplet försöker vi beräkna längden av en av kateterna när vi känner till den ena kateten och dessutom hypotenusans längd. Vi har alltså en triangel ABC med sidlängderna |AC| = 10 och |BC| = 6. Triangeln visas i följande figur:

Av figuren ser vi att hypotenusan, alltså den längsta sidan, är sidan |AC|. Vi behöver beräkna längden av sidan |AB|. Vi sätter in i den andra formeln, den för att beräkna en katets längd:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

För att använda Pythagoras sats rätt måste vi nu komma ihåg vad varje variabel står för. I den här formeln är variabeln a längden av den sida som vi vill beräkna, i vårt fall sidan |AB|. Variabeln c är hypotenusans längd, den längsta sidan, i vårt fall sidan |AC|. Och variabeln b är längden av den katet vars längd vi känner till, i vårt fall |BC|. Därför sätter vi in i formeln så här:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Vi sätter in de konkreta sidlängder som vi känner till:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Vi beräknar potenserna och subtraherar:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Och till sist drar vi roten ur:

$$|AB|=8$$

Längden av sidan |AB| är åtta.

Textuppgift

Tänk dig att du går till en kompis längs en rak väg. Vägen är 250 meter lång. Efter den här fjärdedels kilometern svänger du vänster, går ytterligare 100 meter och är framme hos din goda kompis. Frågan är hur mycket kortare vägen blir om du i stället går den raka vägen över fältet.

Som första steg beräknar vi längden av vägen när du går längs landsvägen. Du går först 250 meter rakt fram och sedan 100 meter åt vänster. Det är sammanlagt 250 + 100 = 350 meter. Nu är det dags att beräkna längden av vägen över fältet. Då behövs en figur.

En ruta i figuren motsvarar 50 meter. Hur skulle den raka vägen över fältet se ut? Det skulle vara en sträcka från punkten A till punkten C. Vi ritar in den i figuren med röd färg.

Nu ser vi att för att beräkna längden av vägen över fältet räcker det att tillämpa Pythagoras sats på rätt sätt. Vi söker hypotenusans längd och känner till längden av båda kateterna, så vi använder den första formeln och sätter in så här:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Vi sätter in längderna:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Vi kvadrerar:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Vi drar roten ur och avrundar:

$$|AC|=269$$

Vägen över fältet är 269 meter lång. Exemplet är inte slut här, frågan var hur mycket kortare vägen över fältet är. Vi subtraherar därför längderna från varandra och betecknar differensen r:

$$r=350-269=81$$

Svaret är att vägen är ungefär 81 meter kortare.

Sidlängden av en kvadrat

Hur lång är sidan i en kvadrat vars diagonal är tio? Hur hjälper Pythagoras sats oss här? Vi måste hitta någon rätvinklig triangel i kvadraten som vi kan använda för att beräkna kvadratens sidlängd. Som en påminnelse: en kvadrat har fyra lika långa sidor. Vi ritar upp den aktuella situationen:

Vi ser att det i kvadraten plötsligt dök upp två trianglar som har en rät vinkel och som vi skulle kunna använda för att beräkna sidlängden. Vi tar till exempel triangeln BCD. Sidan DB är hypotenusa, de övriga två är kateter. Kateternas längder känner vi inte, men hypotenusans längd känner vi. Kateterna är lika långa, alltså |BC| = |CD|. Vi använder Pythagoras sats i dess grundform:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Eftersom kateterna är lika långa räcker det att kvadrera den ena kateten och multiplicera med två — vi behöver inte kvadrera båda kateterna, eftersom de är lika och vi skulle få samma resultat. Vi kan alltså skriva:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

Vi känner till längden av sidan BD, det är hypotenusan. Längden är tio. Vi sätter in i ekvationen:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

Vi kvadrerar tian:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

Vi dividerar med två:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Vi förkortar bråket:

$$50=|BC{|}^2$$

Nu är vi nästan framme. Vi vet att kvadraten av sidlängden är lika med 50. För att få reda på sidlängden måste vi därför dra roten ur båda leden, vilket vi kan göra eftersom vi rör oss bland positiva tal:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

Roten ur femtio låter vi stå i den här formen, men i högra ledet av ekvationen kan vi ta bort rottecknet och kvadreringen, eftersom de tar ut varandra.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Om du vill kan du också räkna ut roten ur femtio. Avrundat får du sju:

$$7=|BC|$$

Kvadratens sidlängd är alltså ungefär sju, exakt roten ur femtio.

Miniräknare

Hypotenusan beräknar du utifrån båda kateterna, kateten utifrån hypotenusan och den andra kateten. Enheten kan du byta för varje fält.