Sinüs, Kosinüs, Tanjant ve Kotanjant Özellikleri

Sinüs ve kosinüs temel trigonometrik fonksiyonlardır.

Sinüs

Alfa açısının sinüsü, dik üçgende karşı dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına eşittir.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Karşı dik kenarın uzunluğu}}{\text{Hipotenüsün uzunluğu}}$$

Sinüs fonksiyonunun grafiği sinüs eğrisi denilen bir eğridir. Grafiği aşağıdaki şekilde görebilirsin:

Sinüs, en küçük pozitif periyodu 2π olan periyodik bir fonksiyondur. Diğer özellikleri:

• Tanım kümesi tüm gerçek sayıların kümesidir.
• Görüntü kümesi [−1, 1] aralığıdır.
• Sinüsün sonsuz sayıda noktada maksimumu vardır. Daha doğrusu “ilk” maksimumu $x=\frac{\pi }{2}$ noktasındadır ve periyodik bir fonksiyon olduğu için $\frac{\pi }{2}+2k\pi$ biçimindeki her noktada da maksimumu vardır; burada k bir tam sayıdır. Maksimum değeri 1’dir.
• Minimum için de benzer: sinüsün $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ noktalarında minimumu vardır, burada k bir tam sayıdır ve minimum değeri −1’dir.
• Sinüs tek ve sınırlı bir fonksiyondur.

Kosinüs

Alfa açısının kosinüsü, dik üçgende komşu dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına eşittir. Yani hesap makinesiyle alfa açısının kosinüsünü hesaplarsak şu oranın değerini elde ederiz

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{Komşu dik kenarın uzunluğu}}{\text{Hipotenüsün uzunluğu}}.$$

Kosinüs fonksiyonunun grafiği kosinüs eğrisi denilen bir eğridir. Grafiği aşağıdaki şekilde görebilirsin:

Kosinüs, en küçük pozitif periyodu 2π olan periyodik bir fonksiyondur. Diğer özellikleri:

• Tanım kümesi tüm gerçek sayıların kümesidir.
• Görüntü kümesi [−1, 1] aralığıdır.
• Kosinüsün sonsuz sayıda noktada maksimumu vardır. Daha doğrusu “ilk” maksimumu x = 0 noktasındadır ve periyodik bir fonksiyon olduğu için 2kπ noktalarında da maksimumu vardır; burada k bir tam sayıdır. Maksimum değeri 1’dir.
• Minimum için de benzer: kosinüsün π + 2kπ noktalarında minimumu vardır, burada k bir tam sayıdır ve minimum değeri −1’dir.
• Kosinüs çift ve sınırlı bir fonksiyondur.

Tanjant

Alfa açısının tanjantı, dik üçgende karşı dik kenarın uzunluğunun komşu dik kenarın uzunluğuna oranına eşittir. Tanjant genellikle tan ile gösterilir.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Karşı dik kenarın uzunluğu}}{\text{Komşu dik kenarın uzunluğu}}$$

Bu fonksiyonun grafiği tanjant eğrisi denilen bir eğridir:

Tanjant, öncekilerden özellikle periyodu bakımından ayrılır; periyodu artık 2π değil, yalnızca π’dir. Diğer özellikleri:

• Tanım kümesi şu kümedir

$$\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• Görüntü kümesi tüm gerçek sayıların kümesidir.
• Tanjantın ne maksimumu ne de minimumu vardır ve sınırlı değildir.
• Tanjant tek bir fonksiyondur.

Kotanjant

Alfa açısının kotanjantı, komşu dik kenarın uzunluğunun karşı dik kenarın uzunluğuna oranına eşittir. Kotanjant genellikle cot ile gösterilir.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Komşu dik kenarın uzunluğu}}{\text{Karşı dik kenarın uzunluğu}}$$

Bu fonksiyonun grafiği kotanjant eğrisi denilen bir eğridir:

Diğer özellikleri:

• Periyodu da tanjantta olduğu gibi π’dir.
• Tanım kümesi şu kümedir

$$\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Görüntü kümesi tüm gerçek sayıların kümesidir.
• Kotanjantın ne maksimumu ne de minimumu vardır ve sınırlı değildir.
• Kotanjant tek bir fonksiyondur.

Sinüs ile Kosinüs Arasındaki İlişki

Trigonometrik fonksiyonların birbirleriyle yakın ilişkileri vardır. Sinüs ve kosinüsün grafiğine aynı anda bakarsan, birbirlerinden pek farklı olmadıklarını, birinin ötekine göre biraz kaydırılmış olduğunu görürsün.

Yani sinüs fonksiyonunun değişkenine her zaman π/2 eklersek kosinüs fonksiyonunu elde ederiz:

Tersine, kosinüsten π/2 çıkarırsak sinüsü elde ederiz.

Böylece şu formülleri yazabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Tanjant ve Kotanjant Nasıl İfade Edilir

Tanjant fonksiyonunu sinüs ve kosinüs cinsinden kolayca ifade edebiliriz. Tanjantın ne olduğunu hatırlamak yeterli: karşı dik kenarın uzunluğunun komşu dik kenarın uzunluğuna oranı. Yardım için şu üçgeni alalım:

Beta açısının tanjantı neye eşittir?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Payı ya da paydayı nasıl ifade edebiliriz? b kenarının ve c kenarının uzunluğu neye eşittir? Beta açısının sinüsünün şuna eşit olduğunu biliyoruz:

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Bu formülden |b| ifadesini yalnız bırakırız:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Beta açısının kosinüsü şuna eşittir:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

|c| ifadesini yalnız bırakırız:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Şu anda b ve c kenarlarının uzunluklarını sinüs ve kosinüs fonksiyonları cinsinden ifade etmiş olduk. Bu ara sonuçları tanjantlı asıl denklemde yerine yazarız:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

Pay ve paydadaki |a| ifadesini sadeleştirebiliriz ve son formülü elde ederiz:

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

Böylece tanjantı sinüsün kosinüse bölümü olarak yazabiliriz. Türetmeden, kotanjantın bu kesrin tersi olarak, yani kosinüs bölü sinüs olarak yazılabileceğini de söyleyelim.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Tanjant ile Kotanjant Arasındaki İlişki

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları birbirine benzediği gibi tanjant ve kotanjant fonksiyonları da birbirine benzer. İki grafiğe tek bir şekilde bak:

Tanjantı betimleyen eğriden kotanjantı betimleyen eğriyi nasıl elde ederiz? Kotanjant π/2 kadar kaydırılmıştır, bununla başlayalım:

Kotanjanta biraz yaklaştık, ama eğriler hâlâ yanlış yönde: kotanjant seçilen aralıklarda azalan, kaydırılmış bu eğri ise artandır. Bunu x değişkeninin işaretini değiştirerek düzeltiriz:

Böylece şunu yazabiliriz:

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Özel Açıların Trigonometrik Değerleri

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant, bazı güzel açılar için güzel değerler alır. İşte temel bir özet:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$