L’Hospital Kuralı

L’Hospital kuralı (“lopital kuralı” diye okunur) bölüm biçimindeki limitleri hesaplarken bazen işimize yarar.

Tanım

Bir noktadaki fonksiyonun limitini hesaplarken bazı durumlarda türevlerden yararlanabiliriz. Elimizde bölüm biçiminde bir fonksiyon olsun; yani f(x) ve g(x) fonksiyonları verilsin ve şu limiti arayalım:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$ olsun, iki fonksiyonun da x₀ noktasının bir komşuluğunda türevi bulunsun (x₀ noktasının kendisinde türevi olmak zorunda değil) ve

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

limiti var olsun. O zaman şu eşitlik geçerlidir:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ limiti yoksa bu, $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ limitinin de olmadığı anlamına gelmez. Türevlerle kurulan limit yoksa asıl limiti türev kullanmadan başka bir yolla hesaplamamız gerekir.

Örnek

1. Şu limiti hesapla:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Bu örneği L’Hospital kuralıyla çözebilir miyiz? Önce her iki fonksiyonun (kesrin payındaki ve paydasındaki fonksiyonun) x₀ = 3 noktasındaki limitinin sıfır olup olmadığını kontrol etmeliyiz. f(x) = x² − 9 ve g(x) = x² − x − 6 diyelim. İkisi de polinomdur, dolayısıyla süreklidir; yani limitleri fonksiyon değerlerine eşittir:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   İlk koşul sağlanıyor. Limiti x yerine üç koyarak hesaplayamayacağımıza dikkat et; çünkü fonksiyonun tamamı x₀ = 3 noktasında süreksizdir, hatta orada fonksiyon değeri bile yoktur (fonksiyon değerini bulmak için sıfıra bölmemiz gerekirdi). Şimdi L’Hospital kuralını deneyip iki fonksiyonun da türevini alabiliriz. Dikkat: bölümün türev formülünü kullanmıyoruz; paydaki fonksiyonun ve paydadaki fonksiyonun türevini ayrı ayrı alıyoruz. Şunu buluruz:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Böylece önceki limit yerine şu limiti çözebiliriz:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Bu fonksiyon x₀ = 3 noktasında süreklidir; dolayısıyla x yerine üç koyup bütün fonksiyonun değerini hesaplayabiliriz:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Bu fonksiyonun limitinin var olduğunu görüyoruz; o hâlde $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ limiti de vardır ve bu iki limit birbirine eşittir. Yani:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Şu limiti hesapla:

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   x₀ = 0 noktasında durum nasıl? Yine f(x) = x ve g(x) = sin x diyelim. f(0) = 0 ve g(0) = 0 olur. $\frac{0}{0}$ biçiminde bir bölüm elde ederiz ve fonksiyon bu noktada süreksizdir. L’Hospital kuralını deneyebiliriz. İki fonksiyonun da türevini alalım:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Fonksiyonların türevleri elimizde; şu limiti hesaplamayı deneyelim:

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   x₀ = 0 noktasında ne olur? cos(0) = 1 olduğundan $\frac{1}{1}=1$ kesrini elde ederiz. Fonksiyon x₀ = 0 noktasında süreklidir, dolayısıyla

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Bu limit var olduğuna göre $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$ limiti de vardır ve bu limitler birbirine eşittir. Sonuç:

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$