Denklemlerde Denk İşlemler

Denklemlerde, denklemin geçerliliğini değiştirmeyen denk işlemleri kullanırız. Denk işlemlerin amacı, denklemi daha basit bir biçime getirmektir; böylece denklemin sonucunu hesaplayabiliriz.

Denklem Nedir

Önce denklemin ne olduğunu ve nasıl yazacağımızı kısaca hatırlayalım. f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonumuz varsa, bunları eşitleyerek bir denklem elde edebiliriz:

$$f(x)=g(x)$$

Bu durumda f(x) ifadesine denklemin sol tarafı, g(x) ifadesine sağ tarafı deriz. Soyut f(x) ve g(x) fonksiyonları yerine somut fonksiyonlar düşünebiliriz, örneğin f(x) = 3x ve g(x) = x + 2. O zaman denklem şöyle görünür:

$$3x=x+2$$

Denklemin çözümü bir kümedir; bu kümeye (örneğin) ÇK diyelim. ÇK kümesindeki her x için, bu değer denklemde yerine yazıldığında denklem hâlâ sağlanır. Örnek denklemimizin çözüm kümesi

$$\text{ÇK}=\left\{1\right\}.$$

Denklemde 1 değerini yerine yazarsak

$$3\cdot 1=1+2$$

elde ederiz.

Denklemin denk işlemi ise denklemin geçerliliğini değiştirmeyen işlemdir. Yani f(x) fonksiyonundan f₁(x) fonksiyonunu, aynı işlemle g(x) fonksiyonundan da g₁(x) fonksiyonunu elde ettiğimizde şu eşitlik hâlâ sağlanıyorsa, bu işlem denk işlemdir:

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Denklemlerde (eşitsizliklerde değil!) yapılabilecek ilk ve en basit denk işlem sol ve sağ tarafı yer değiştirmektir. Açıktır ki şu eşitlik sağlanıyorsa

$$f(x)=g(x),$$

yer değiştirmiş hâli de sağlanacaktır:

$$g(x)=f(x).$$

Denklemleri Denklem Nedir yazısında daha ayrıntılı ele alıyorum.

Toplama

En basit örnek, denklemin her iki tarafına bir ifade eklemektir. Denk işlemi her zaman denklemin her iki tarafına uygularız. Şu denklemi alalım:

$$x-3=1.$$

Bu denklemi, her iki tarafına 3 sayısını ekleyerek çözebiliriz. Denklemlerde işlemi genellikle başladığımız satırda eğik çizgiden sonra yazarız:

$$\begin{array}{rcl}x-3& =& 1/+3\\ 3+x-3& =& 1+3\\ x& =& 4\end{array}$$

Genel olarak şöyle yazabiliriz: yine f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonumuz varsa, her ikisine de üçüncü bir h(x) fonksiyonu ekleyebiliriz ve denklemin geçerliliği değişmez.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& g(x)/+h(x)\\ f(x)+h(x)& =& g(x)+h(x)\end{array}$$

Gördüğün gibi yalnızca sayı eklemek zorunda değiliz, fonksiyon da ekleyebiliriz:

$$x=2x+6$$

Alışkanlık olarak değişkenleri sol tarafta isteriz; bunu denkleme −2x ekleyerek, yani 2x çıkararak sağlarız.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x+6/-2x\\ x-2x& =& 2x-2x+6\\ -x& =& 6\\ x& =& -6\end{array}$$

İşine yarıyorsa kesirler de ekleyebiliriz.

$$x-\frac{1}{2}=471$$

Her iki tarafa yarım ekleriz ve sonucu buluruz:

$$\begin{array}{rcl}x-\frac{1}{2}& =& 471/+\frac{1}{2}\\ x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}& =& 471+\frac{1}{2}\\ x& =& 471,5\end{array}$$

Denkleme ekleme işlemini genellikle bir ifadeyi denklemin bir tarafından diğer tarafına “atmak” istediğinde kullanırsın. Elinde şu denklem varsa

$$3=2x+17,$$

değişkenli ifadeyi, yani 2x terimini denklemin sol tarafına nasıl getirirsin? Çok basit: denklemin her iki tarafına −2x eklersin. Böylece sağ tarafta 2x yerine sıfır elde edersin, çünkü 2x − 2x = 0. Diğer tarafta ise −2x kalır:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 2x+17/-2x\\ 3-2x& =& 2x-2x+17\\ 3-2x& =& 17\end{array}$$

Çarpma

Denklemi bir fonksiyonla da çarpabiliriz. Tek koşul, bu fonksiyonun sıfır olmamasıdır. Denklemi sıfırla çarpamayız; sıfıra dönüştürülebilecek bir fonksiyonla da çarpamayız, örneğin f(x) = x − x ile. Yani elimizde şu denklem varsa

$$3x=7,$$

onu 2 ile çarpabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}3x& =& 7/\cdot 2\\ 2\cdot 3x& =& 2\cdot 7\\ 6x& =& 14\end{array}$$

Bunun pek bir anlamı yoktu; çarpma işlemi örneğin kesirlerden kurtulmak istediğinde kullanılır:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Bu denklemi sağ taraftaki kesrin paydasıyla çarparsak, kesirlerin özellikleri sayesinde 5x ifadesi güzelce sadeleşir.

$$\begin{array}{rcl}3& =& \frac{2}{5x}/\cdot 5x\\ 5x\cdot 3& =& 5x\cdot \frac{2}{5x}\end{array}$$

Şimdi kesri 5x ile çarptığımızda 5x kesrin payına geçer ve sonra 5x ifadesini sadeleştirebiliriz, çünkü kesrin hem payında hem paydasında var.

$$\begin{array}{rcl}15x& =& \frac{5x\cdot 2}{5x}\\ 15x& =& 2\end{array}$$

Bu bölümün başında sıfırla çarpamayacağımızı söylemiştim. Şimdi 5x ifadesiyle çarptık — ama bu ifade değişken içeriyor ve bu değişkenin yerine sıfır yazarsak ifadenin tamamı sıfır olur; bak, yine sıfırla çarpmış oluyoruz. Ne yapacağız?

Bu sorun, işlemi hangi koşullarda yapabileceğimizi belirleyerek çözülür. Şu anda 5x ile ancak x sıfırdan farklı olduğu sürece çarpabileceğimizi yazmamız gerekir. Ama şimdi çarptığımız denkleme de bakalım. 5x ifadesi orada zaten var ve kesrin paydasında duruyor. Bu ne demek? Sıfıra bölemeyiz; yani $\frac{2}{5x}$ fonksiyonunun tanım kümesi zaten x değerinin sıfıra eşit olmasını dışlıyor.

Bir kez daha söyleyelim — denklemde paydasında 5x ifadesi olan bir kesir var. Sıfıra bölemediğimiz için denklem ancak x sıfırdan farklıysa anlamlıdır. Bu yüzden denklemin tamamını rahatça 5x ile çarpabiliriz, çünkü gerekli koşulları paydadaki fonksiyonun tanım kümesi zaten bizim için sağlıyor.

Daha Karmaşık İfadelerle Çarpma

Şimdi önemli bir not: denklemi bir ifadeyle çarparken her zaman sağ tarafın tamamını ve sol tarafın tamamını çarpmalıyız. Örnek olarak şu denklemi alalım:

$$x+2=x-4$$

Bunu 2 ile çarpmak istersek tarafların tamamını çarpmamız gerekir, şöyle:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot (x+2)& =& 2\cdot (x-4)\\ 2x+4& =& 2x-8\end{array}$$

Parantezleri yazmamak hata olurdu, çünkü yanlış bir sonuç elde ederdik:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot x+2& =& 2\cdot x-4\\ 2x+2& =& 2x-4\end{array}$$

Sonucun öncekinden farklı olduğunu görüyorsun. Daha karmaşık bir ifadeyle çarparken de denklemin tamamını çarpmalısın. Örnek olarak şu denklemi alalım:

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Bu denklemi, sağ taraftaki paydada bulunan değişkenden kurtulmak için x + 3 ifadesiyle çarparız.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& \frac{2}{x+3}/\cdot (x+3)\\ (x+3)(2x+1)& =& (x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\end{array}$$

Kesri, x + 3 ifadesiyle güzelce sadeleştirebileceğimiz biçime getirdik:

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& 2\end{array}$$

Şimdi sol tarafı açabiliriz; sonunda da 2’yi sol tarafa “taşımak” için her iki taraftan 2 çıkarırız, böylece sağ tarafta sıfır elde ederiz.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& 2\\ 2x^2+x+6x+3& =& 2\\ 2x^2+7x+3& =& 2/-2\\ 2x^2+7x+1& =& 0\end{array}$$

Bölme

Denklemi çarpabildiğimiz gibi bölebiliriz de. Çarpmadaki kısıtlamanın aynısı geçerlidir — sıfıra bölemeyiz. Bölme işlemini kolayca çarpmaya çevirebiliriz. Denklemi bir w ifadesine bölmek, denklemi 1/w kesriyle çarpmakla aynıdır. Bölme işlemi sıklıkla şu gibi örneklerde kullanılır:

$$12x=7$$

Bu, üzerinde fazla bir şey yapamayacağımız bir denklem türüdür; denklemin tamamını 12’ye bölmekten başka çare yoktur, böylece x değerini buluruz.

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/:12\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Denklemi 1/12 ile çarpsaydık da aynı sonucu elde ederdik:

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/\cdot \frac{1}{12}\\ 12x\cdot \frac{1}{12}& =& 7\cdot \frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}& =& \frac{7}{12}\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Üs Alma

Denklemlerde üslü ifadeleri de kullanabiliriz, ama bazı kısıtlamalarla. Önce üslü ifadelerle ilgili bilgilerimizi tazeleyelim. Şu eşitlik doğru mudur?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Bir sayının karesini alıp ardından karekökünü alırsan, ilk sayıyı geri elde eder misin? Bu hileli bir soru ve cevap şu: her zaman değil. x yerine negatif bir sayı, örneğin -3 yazdığını düşün:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{(-3{)}^2}& =& -3\\ \sqrt{9}& =& -3\\ 3& \ne & -3\end{array}$$

Gördüğün gibi eşitlik birdenbire sağlanmıyor, çünkü negatif bir sayının karesini aldığımızda pozitif sayı elde ederiz. Pozitif sayının karekökünü aldığımızda da yine pozitif sayı elde ederiz. Bu eşitlik ne zaman sağlanırdı? Yalnızca pozitif, daha doğrusu negatif olmayan sayılarla çalıştığımızı bildiğimiz durumda. Demek ki denklemin karesini ancak pozitif sayılarla çalıştığımızı biliyorsak alabiliriz.

Örneğin geometride doğru parçalarının uzunluklarını içeren denklemleri sık sık hesaplarız ve bu durumda rahatça kuvvet de alabiliriz, çünkü uzunluk negatif olamaz. Kuvvet alırken ya da kök alırken de denklemin tamamının kuvvetini almamız gerektiği kuralı geçerlidir. Örnek:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Yalnızca pozitif sayılarla çalıştığımızı varsayalım; bu yüzden denklemin tamamının karesini alabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x+4{/}^2\\ {\left(\sqrt{x+2}\right)}^2& =& (x+4{)}^2\\ x+2& =& x^2+8x+16\\ x^2+7x+14& =& 0\end{array}$$

İkinci dereceden bir denklem elde ettik; bunu ilgili yazıda anlatılan yöntemlerle çözebiliriz.

Peki karesini alman gereken ama yalnızca pozitif sayılarla çalışıp çalışmadığından emin olamadığın bir denklemi nasıl çözersin? Basitçe karesini alır, sonra doğrulama yaparsın; çünkü kare alınca denklemin gerçek çözümü olmayan sonuçlar da çıkabilir. Örnek:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Şimdi denklemin karesini alalım:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2{/}^2\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2& =& (x-2{)}^2\\ x& =& x^2-4x+4\\ x^2-5x+4& =& 0\end{array}$$

Yine ikinci dereceden bir denklem elde ediyoruz; uygun bir teknikle, örneğin çarpanlara ayırarak çözeriz (kesin yöntem bağlantı verilen yazıda var):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Bir sonucun 1, diğerinin 4 olduğunu görüyoruz. Ama denk olmayan bir işlem yaptığımızı biliyoruz, bu yüzden doğrulama da yapmamız gerekiyor. Bu çözümleri ilk denklemde yerine yazıp hangisinin ilk denklemin geçerli çözümü olduğuna bakarız. Önce 1’i yazalım:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{1}& =& 1-2\\ 1& \ne & -1\end{array}$$

Doğrulamayla 1’in ilk denklemin çözümü olmadığını gördük. Peki 4?

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{4}& =& 4-2\\ 2& =& 2\end{array}$$

4, ilk denklemin çözümüdür; sonucu bulduk.