Verranto

Verrantoa käytetään yksinkertaisissa suoraan ja kääntäen verrannollisten suureiden laskuissa. Yleensä tiedämme kolme toisistaan riippuvaa arvoa ja meidän on laskettava neljäs. Verrannossa suoraan ja kääntäen verrannollisuus on erotettava huolellisesti toisistaan, koska niiden laskutavat ovat erilaiset.

Motivaatio

Menet kauppaan ostamaan limsaa varastoon. Sait 10 eurolla 5 pulloa limsaa. Montako pulloa saisit, jos sinulla olisi 20 euroa? Tämä on tyypillinen esimerkki, joka voidaan ratkaista verrannolla.

Tässä vaiheessa voimme tehdä yksinkertaisen päättelyn — ensimmäisessä tapauksessa meillä oli käytössämme 10 euroa, toisessa 20 euroa. Voi siis odottaa, että jos meillä on käytössä kaksi kertaa enemmän rahaa, saamme niillä kaksi kertaa enemmän pulloja. 20 eurolla ostaisimme siis 2 · 5 = 10 limsapulloa.

Edellinen menettely ”mitä enemmän… sitä enemmän” ei ole täysin itsestään selvä, koska voimme saada seuraavanlaisen tehtävän: 10 muuraria rakentaa talon neljässä kuukaudessa. Kuinka kauan 20 muurarilta kestää rakentaa talo? Jos käytämme edellistä menettelyä — muurareita on kaksi kertaa enemmän, joten kuukausia on kaksi kertaa enemmän — saamme, että 20 muuraria rakentaisi talon 2 · 4 = 8 kuukaudessa.

Tämä menettely ei tietenkään ole oikea, koska mitä enemmän muurareita, sitä vähemmän kuukausia talon rakentamiseen kuluu. Meidän on siis edettävä päinvastoin: kaksi kertaa enemmän muurareita rakentaa talon puolessa ajassa. Saamme oikean tuloksen: 20 muuraria rakentaa talon 4/2 = 2 kuukaudessa.

Edellisillä kahdella menettelyllä on myös omat nimensä: suoraan verrannollisuus ja kääntäen verrannollisuus.

Suoraan verrannollisuus

Jos pätee ”mitä enemmän… sitä enemmän”, kyse on suoraan verrannollisuudesta. Esimerkkejä:

• Mitä enemmän meillä on rahaa, sitä enemmän limsaa/kurkkuja/potkulautoja voimme ostaa.
• Mitä enemmän artikkeleita toimittaja kirjoittaa, sitä enemmän rahaa hän ansaitsee.
• Mitä useampi kaivaja kaivaa, sitä enemmän he kaivavat.
• Mitä kauemmin annamme pumpun pumpata, sitä enemmän vettä pumppaamme.

Esimerkki: Auto kuluttaa 6 litraa bensiiniä 100 kilometrillä. Paljonko bensiiniä se kuluttaa ajettuaan 250 kilometriä? Tämä on esimerkki suoraan verrannollisuudesta, koska mitä pidemmän matkan auto ajaa, sitä enemmän bensiiniä se kuluttaa.

Menetelmä: Kirjoitetaan ensin, mitä tiedämme. Käytämme siihen seuraavaa taulukkoa, joka selventää, mitä tiedämme ja mitä haluamme laskea:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litraa}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litraa}\end{array}$$

Ensimmäiselle riville on kirjoitettu tiedot, jotka tunnemme kokonaan. Toisella rivillä on oikealla puolella tieto, jota emme tunne, ja vasemmalla puolella tieto, jolle haluamme laskea tuntemattoman. Sarakkeissa on aina oltava samat suureet, tässä tapauksessa sarakkeessa on oltava aina joko kilometrejä tai aina litroja.

On olemassa apukeino, joka auttaa tämän tehtävän laskemisessa. Piirrä ensin oikealle nuoli alhaalta ylös, näin:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litraa}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litraa}\uparrow \end{array}$$

Jos kyseessä on suoraan verrannollisuus, piirretään vasemmalle sama nuoli alhaalta ylös:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litraa}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ litraa}\uparrow \end{array}$$

Seuraavassa vaiheessa muodostetaan sarakkeista murtoluvut nuolten suuntaan. Osoittaja vastaa lukua, jossa nuoli alkaa, ja nimittäjä lukua, jossa nuoli päättyy. Nämä murtoluvut asetetaan yhtä suuriksi. Ensimmäisestä sarakkeesta (kilometrit) saamme murtoluvun $\frac{250}{100}$ ja toisesta (litrat) murtoluvun $\frac{x}{6}$. Yhtälönä kirjoitettuna:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Tämä on tavallinen ensimmäisen asteen yhtälö, jonka voi ratkaista yhtäpitävillä muunnoksilla. Kerrotaan koko yhtälö kuudella, jolloin pääsemme eroon oikean puolen murtoluvusta:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Nyt vain lasketaan x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Tuloksena on, että auto kuluttaa 250 kilometrin ajamisen jälkeen 15 litraa bensiiniä.

Kääntäen verrannollisuus

Jos pätee ”mitä enemmän … sitä vähemmän”, kyse on kääntäen verrannollisuudesta. Esimerkki:

• Mitä useampi ihminen jakaa pizzan, sitä pienemmän palan kukin saa.
• Mitä nopeampi netti meillä on, sitä nopeammin lataamme elokuvan.
• Mitä nopeammin ajamme, sitä aiemmin pääsemme perille.
• Mitä useampi työntekijä talolla työskentelee, sitä nopeammin talo valmistuu.

Esimerkki: Tietokoneellasi on netti, jonka nopeus on 2 Mt sekunnissa, ja lataat konserttitallenteen 450 sekunnissa. Kuinka kauan kestäisi ladata sama konsertti, jos netin nopeus olisi 6 Mt sekunnissa?

Menetelmä on sama kuin suoraan verrannollisuudessa — kirjoitamme tiedot selkeään taulukkoon:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ Mt/s}& \dots & 450\text{ sekuntia}\\ 6\text{ Mt/s}& \dots & x\text{ sekuntia}\end{array}$$

Nyt nuolet. Oikea nuoli on taas alhaalta ylös, tässä ei muutu mikään. Mutta koska kyseessä on kääntäen verrannollisuus, vasen nuoli kulkee vastakkaiseen suuntaan, ylhäältä alas.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ Mt/s}& \dots & 450\text{ sekuntia}\\ \downarrow 6\text{ Mt/s}& \dots & x\text{ sekuntia}\uparrow \end{array}$$

Jatko on sama — muodostamme tästä taulukosta murtoluvut, taas nuolten suuntaan. Saamme murtoluvut $\frac{2}{6}$ ja $\frac{x}{450}$, jotka asetetaan yhtä suuriksi:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Kerrotaan yhtälö luvulla 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Ja lasketaan x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Konsertin lataaminen kestää nopeammalla yhteydellä 150 sekuntia.

Huomaa, että menetelmä on sopusoinnussa intuition kanssa. Viimeisessä vaiheessa jaamme 450:n kolmella, mikä on odotettavaa. Nopeuden kasvu 2 Mt/s:sta 6 Mt/s:iin on kolminkertainen, nopeutemme on kolme kertaa suurempi. Siksi odottaisimme, että elokuvan latausaika on kolme kertaa pienempi → ja juuri sen murtoluku $\frac{450}{3}$ ilmaisee.

Esimerkkejä

Ensimmäinen esimerkki: Huone luksushotellissa maksaa seitsemältä yöltä tuhat viisikymmentä euroa. Kuinka paljon sama huone maksaisi, jos haluaisimme olla siellä kaksitoista yötä?

Kirjoitetaan ensin tiedot taulukkoon:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ yötä}& \dots & 1050\text{ euroa}\\ 12\text{ yötä}& \dots & x\text{ euroa}\end{array}$$

Nyt on päätettävä, onko kyse suoraan vai kääntäen verrannollisuudesta. Pitääkö paikkansa, että mitä kauemmin siellä viivymme, sitä vähemmän maksamme? Ei pidä, päinvastoin — mitä kauemmin siellä olemme, sitä enemmän maksamme. Kyseessä on siis suoraan verrannollisuus. Lisätään nuolet:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ yötä}& \dots & 1050\text{ euroa}\\ \uparrow 12\text{ yötä}& \dots & x\text{ euroa}\uparrow \end{array}$$

Muodostetaan nuolten avulla murtoluvut:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{1050}$$

Lasketaan yhtälö loppuun:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{1050}\\ 1050\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 1050\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{1050\cdot 12}{7}\\ x& =& 1800\end{array}$$

Huone maksaisi 12 yöltä 1 800 euroa.

Toinen esimerkki: 10 kesätyöntekijää poimii mansikoita ja päivässä he poimivat 50 kiloa mansikoita. Montako kiloa mansikoita 7 työntekijää poimii päivässä?

Kirjoitetaan tiedot taulukkoon:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ työntekijää}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ työntekijää}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Onko kyse suoraan vai kääntäen verrannollisuudesta? Tässä esimerkissä on pieni ansa, koska toisin kuin edellisissä esimerkeissä tuntemattoman rivillä on vähemmän työntekijöitä kuin ensimmäisellä rivillä. Älä anna sen hämätä, kyseessä on edelleen suoraan verrannollisuus, koska mitä useampi työntekijä, sitä enemmän poimittuja mansikoita. Tai päinvastoin — mitä vähemmän työntekijöitä, sitä vähemmän mansikoita. Sekin on suoraan verrannollisuutta. Molemmat nuolet ovat siis alhaalta ylös.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ työntekijää}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ työntekijää}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Muodostetaan murtoluvut:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

ja lasketaan x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Seitsemän työntekijää poimii päivässä 35 kiloa mansikoita.

Kolmas esimerkki: Pekan keskimääräinen askelpituus on 80 cm. Koulumatkalla kotiin hän laski ottaneensa 1 300 askelta. Montako askelta hän ottaisi, jos hänen askeleensa olisi tasan metrin pituinen?

Ensin taulukko. Huomaa, että tehtävänannossa on 80 cm ja yksi metri. Taulukossa meillä on kuitenkin oltava tiedot samalla yksiköllä, joten yhden metrin sijasta käytämme 100 cm — voisimme valita myös päinvastaisen menettelyn ja kirjoittaa 1 metri ja 0,8 metriä.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ askelta}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ askelta}\end{array}$$

Ja kumpi verrannollisuus tämä on? Mitä pidempi askel meillä on, sitä vähemmän askelia tarvitsemme tietyn matkan kulkemiseen, kyseessä on siis kääntäen verrannollisuus. Vasen nuoli kulkee ylhäältä alas, oikea nuoli alhaalta ylös.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ askelta}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ askelta}\uparrow \end{array}$$

Murtoluvut näyttävät tältä:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Ratkaistaan x ja lasketaan:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Pekka tarvitsisi saman matkan kulkemiseen vain 1 040 askelta.

Kaavat

Kuten edellisistä laskuista näkyy, menetelmät ovat aina samat ja johtavat yksinkertaisiin kaavoihin. Kirjoitetaan ensin taulukko symbolisesti:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Silloin pätevät nämä kaavat. Suoraan verrannollisuudelle:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Ja kääntäen verrannollisuudelle:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$