Regra de três

A regra de três é usada em cálculos simples de proporção direta e inversa. Na maioria das vezes conhecemos três dados que dependem uns dos outros e temos de calcular o quarto. Na regra de três precisamos distinguir com cuidado a proporção direta da inversa, pois os cálculos são diferentes.

Motivação

Você vai ao mercado comprar um estoque de limonada. Por R$ 20, você comprou 5 garrafas de limonada. Quantas garrafas você compraria se tivesse R$ 40? Esse é um exemplo típico que pode ser resolvido com a regra de três.

Neste momento podemos fazer um raciocínio simples: no primeiro caso tínhamos R$ 20, no segundo, R$ 40. Dá para esperar que, se temos o dobro de dinheiro, compraremos o dobro de garrafas. Com R$ 40 compraríamos, então, 2 · 5 = 10 limonadas.

O procedimento anterior de “quanto mais… mais” não é tão óbvio assim, porque podemos ter o seguinte exemplo: 10 pedreiros constroem uma casa em quatro meses. Em quanto tempo 20 pedreiros constroem a casa? Se usarmos o procedimento anterior (há o dobro de pedreiros, então haverá o dobro de meses), obtemos que 20 pedreiros construiriam a casa em 2 · 4 = 8 meses.

Esse procedimento, claro, não está correto, porque quanto mais pedreiros, menos meses eles levarão para construir a casa. Precisamos, então, proceder ao contrário: o dobro de pedreiros constrói a casa em metade do tempo. Obtemos assim o resultado correto: 20 pedreiros constroem a casa em 4/2 = 2 meses.

Os dois procedimentos anteriores, diferentes, também têm nome: proporção direta e proporção inversa.

Proporção direta

Se vale que “quanto mais… mais”, trata-se de uma proporção direta. Exemplos:

• Quanto mais dinheiro temos, mais limonadas/pepinos/patinetes podemos comprar.
• Quanto mais artigos um jornalista escreve, mais dinheiro ele ganha.
• Quanto mais pessoas cavarem, mais terra elas tiram.
• Quanto mais tempo deixamos a bomba funcionando, mais água bombeamos.

Exemplo: Um carro gasta 6 litros de gasolina para percorrer 100 quilômetros. Quantos litros de gasolina ele gasta depois de percorrer 250 quilômetros? Este é um exemplo de proporção direta, porque vale que, quanto mais o carro percorre, mais gasolina ele gasta.

Procedimento: Primeiro anotamos o que conhecemos. Para isso usamos a tabela a seguir, que deixa mais claro o que conhecemos e o que queremos calcular:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litros}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litros}\end{array}$$

Na primeira linha temos anotados os dados que conhecemos por completo. Na segunda linha temos, do lado direito, o dado que não conhecemos e, do lado esquerdo, o dado para o qual queremos calcular a incógnita. Nas colunas sempre devem estar os mesmos dados; neste caso, em uma coluna devem estar sempre quilômetros ou sempre litros.

Existe um macete que ajuda a calcular este exemplo. Primeiro desenhe do lado direito uma seta de baixo para cima, assim:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litros}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litros}\uparrow \end{array}$$

Se se trata de uma proporção direta, desenhamos do lado esquerdo a mesma seta, de baixo para cima:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litros}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ litros}\uparrow \end{array}$$

No passo seguinte montamos frações com as colunas, no sentido das setas. O numerador corresponde ao número onde a seta começa e o denominador, ao número onde a seta termina. Igualamos essas frações. Da primeira coluna (quilômetros) obtemos a fração $\frac{250}{100}$ e da segunda (litros), a fração $\frac{x}{6}$. Escrito como equação:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Esta é uma equação do 1º grau comum, que podemos resolver com transformações equivalentes. Multiplicamos a equação inteira por seis, eliminando assim a fração do lado direito:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Agora é só calcular x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

O resultado é que o carro, depois de percorrer 250 quilômetros, gasta 15 litros de gasolina.

Proporção inversa

Se vale que “quanto mais … menos”, trata-se de uma proporção inversa. Exemplo:

• Quanto mais pessoas dividem uma pizza, menor é o pedaço que cada uma recebe.
• Quanto mais rápida é a nossa internet, mais cedo baixamos um filme.
• Quanto mais rápido formos, mais cedo chegaremos ao destino.
• Quanto mais trabalhadores trabalham na casa, mais cedo ela fica pronta.

Exemplo: No seu computador, a internet tem velocidade de 2 MB por segundo, e você baixou a gravação de um show em 450 segundos. Em quanto tempo você baixaria o mesmo show se tivesse uma internet com velocidade de 6 MB por segundo?

O procedimento será o mesmo da proporção direta: anotamos os dados numa tabela clara:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ segundos}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ segundos}\end{array}$$

Agora as setas. A seta da direita será de novo de baixo para cima, aqui nada muda. Mas, como se trata de uma proporção inversa, a seta da esquerda irá no sentido oposto, de cima para baixo.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ segundos}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ segundos}\uparrow \end{array}$$

O procedimento seguinte já é o mesmo: criamos frações a partir dessa tabela, de novo no sentido das setas. Obtemos assim as frações $\frac{2}{6}$ e $\frac{x}{450}$, que igualamos:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Multiplicamos a equação por 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

E calculamos x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Com a conexão mais rápida, baixamos o show em 150 segundos.

Note que o procedimento está de acordo com a intuição. No último passo dividimos 450 por três, o que é esperado. O aumento da velocidade de 2 MB/s para 6 MB/s é o triplo, temos uma velocidade três vezes maior. Por isso esperaríamos que o tempo em que baixamos o filme fosse três vezes menor → e é exatamente isso que a fração $\frac{450}{3}$ expressa.

Exemplos

Primeiro exemplo: Um quarto num hotel de luxo custa R$ 10.500 por sete noites. Quanto nos custará o mesmo quarto, se quisermos ficar lá por doze dias?

Primeiro anotamos os dados na tabela:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ dias}& \dots & 10.500\text{ reais}\\ 12\text{ dias}& \dots & x\text{ reais}\end{array}$$

Agora precisamos decidir se se trata de uma proporção direta ou inversa. Vale que, quanto mais tempo ficarmos lá, menos pagaremos? Não vale, vale o contrário: quanto mais tempo ficarmos lá, mais pagaremos. Trata-se, portanto, de uma proporção direta. Completamos com as setas:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ dias}& \dots & 10.500\text{ reais}\\ \uparrow 12\text{ dias}& \dots & x\text{ reais}\uparrow \end{array}$$

Com as setas montamos as frações:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{10.500}$$

Resolvemos a equação:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{10.500}\\ 10.500\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 10.500\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{10.500\cdot 12}{7}\\ x& =& 18.000\end{array}$$

Por 12 dias, o quarto nos custaria 18.000 reais.

Segundo exemplo: 10 colhedores colhem morangos e, em um dia, colhem 50 quilos de morangos. Quantos quilos de morangos 7 colhedores colhem em um dia?

Anotamos os dados na tabela:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ colh.}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ colh.}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Trata-se de proporção direta ou inversa? Neste exemplo há uma certa pegadinha, porque, ao contrário dos exemplos anteriores, na linha com a incógnita temos um número menor de colhedores do que na primeira linha. Não se deixe enganar por isso, ainda se trata de uma proporção direta, porque vale que, quanto mais colhedores, mais morangos colhidos. Ou, ao contrário: quanto menos colhedores, menos morangos. Isso também é proporção direta. Então as duas setas serão de baixo para cima.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ colh.}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ colh.}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Criamos as frações:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

e calculamos x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Sete colhedores colhem em um dia 35 quilos de morangos.

Terceiro exemplo: O comprimento médio do passo do João é 80 cm. No caminho da escola para casa, ele contou que deu 1.300 passos. Quantos passos ele daria se cada um medisse exatamente um metro?

Primeiro a tabela. Atenção: no enunciado temos 80 cm e um metro. Na tabela, porém, precisamos ter os dados na mesma unidade, então no lugar de um metro usamos 100 cm; poderíamos escolher o procedimento oposto e escrever 1 metro e 0,8 metro.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ passos}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ passos}\end{array}$$

E que proporção é essa? Vale que, quanto maior o passo, menos passos precisamos para vencer uma certa distância; trata-se, portanto, de uma proporção inversa. A seta da esquerda será de cima para baixo, a da direita de baixo para cima.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ passos}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ passos}\uparrow \end{array}$$

As frações ficarão assim:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Isolamos e calculamos x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

João precisaria, para a mesma distância, de apenas 1.040 passos.

Fórmulas

Como se vê pelos cálculos anteriores, os procedimentos são sempre os mesmos e levam a fórmulas simples. Primeiro escrevemos a tabela de forma simbólica:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Então valem estas fórmulas. Para a proporção direta:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

E para a proporção inversa:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$