Dreisatz

Der Dreisatz wird bei einfachen Berechnungen zur Proportionalität und Antiproportionalität verwendet. Meistens kennen wir drei voneinander abhängige Angaben und sollen die vierte berechnen. Beim Dreisatz müssen wir den proportionalen und den antiproportionalen Fall sorgfältig unterscheiden, denn die beiden werden unterschiedlich berechnet.

Motivation

Du gehst in den Laden, um Limonade auf Vorrat zu kaufen. Für 4 Euro hast du 5 Flaschen Limonade gekauft. Wie viele Flaschen würdest du kaufen, wenn du 8 Euro hättest? Das ist ein typisches Beispiel, das sich mit dem Dreisatz lösen lässt.

An dieser Stelle können wir eine einfache Überlegung anstellen – im ersten Fall hatten wir 4 Euro zur Verfügung, im zweiten 8 Euro. Es ist also zu erwarten, dass wir doppelt so viele Flaschen kaufen, wenn wir doppelt so viel Geld haben. Für 8 Euro würden wir also 2 · 5 = 10 Limonaden kaufen.

Das vorherige Vorgehen „je mehr … desto mehr“ ist nicht ganz selbstverständlich, denn wir können folgendes Beispiel haben: 10 Maurer bauen ein Haus in vier Monaten. Wie lange brauchen 20 Maurer für das Haus? Wenn wir wie eben vorgehen – es sind doppelt so viele Maurer, also werden es doppelt so viele Monate sein –, erhalten wir, dass 20 Maurer das Haus in 2 · 4 = 8 Monaten bauen würden.

Dieses Vorgehen ist natürlich nicht richtig, denn je mehr Maurer, desto weniger Monate brauchen sie, um das Haus zu bauen. Wir müssen also umgekehrt vorgehen: doppelt so viele Maurer bauen das Haus in halb so vielen Monaten. So erhalten wir das richtige Ergebnis: 20 Maurer bauen das Haus in 4/2 = 2 Monaten.

Die beiden Vorgehensweisen haben auch ihre Namen: proportionaler und antiproportionaler Dreisatz.

Proportionaler Dreisatz

Gilt „je mehr … desto mehr“, handelt es sich um einen proportionalen Zusammenhang. Beispiele:

• Je mehr Geld wir haben, desto mehr Limonaden/Gurken/Tretroller können wir uns kaufen.
• Je mehr Artikel ein Journalist schreibt, desto mehr Geld verdient er.
• Je mehr Bagger graben, desto mehr heben sie aus.
• Je länger wir die Pumpe laufen lassen, desto mehr Wasser pumpen wir ab.

Beispiel: Ein Auto verbraucht 6 Liter Benzin auf 100 Kilometer. Wie viele Liter Benzin verbraucht es nach 250 gefahrenen Kilometern? Das ist ein Beispiel für einen proportionalen Zusammenhang, denn je weiter das Auto fährt, desto mehr Benzin verbraucht es.

Vorgehen: Zuerst schreiben wir auf, was wir kennen. Dazu verwenden wir die folgende Tabelle, die übersichtlich zeigt, was wir kennen und was wir berechnen wollen:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ Liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ Liter}\end{array}$$

In der ersten Zeile stehen die Angaben, die wir vollständig kennen. In der zweiten Zeile steht auf der rechten Seite die Angabe, die wir nicht kennen, und auf der linken Seite die Angabe, zu der wir die Unbekannte berechnen wollen. In den Spalten müssen immer gleichartige Angaben stehen, in diesem Fall also in einer Spalte entweder immer Kilometer oder immer Liter.

Es gibt einen Trick, der dir beim Lösen dieser Aufgabe hilft. Zeichne zuerst rechts einen Pfeil von unten nach oben, so:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ Liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ Liter}\uparrow \end{array}$$

Handelt es sich um einen proportionalen Zusammenhang, zeichnen wir links denselben Pfeil, ebenfalls von unten nach oben:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ Liter}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ Liter}\uparrow \end{array}$$

Im nächsten Schritt bilden wir aus den Spalten in Pfeilrichtung Brüche. Der Zähler entspricht der Zahl, bei der der Pfeil beginnt, und der Nenner der Zahl, bei der der Pfeil endet. Diese Brüche setzen wir gleich. Aus der ersten Spalte (Kilometer) erhalten wir den Bruch $\frac{250}{100}$ und aus der zweiten (Liter) den Bruch $\frac{x}{6}$. Als Gleichung geschrieben:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Das ist eine gewöhnliche lineare Gleichung, die wir mit Äquivalenzumformungen lösen können. Wir multiplizieren die ganze Gleichung mit sechs und werden so den Bruch auf der rechten Seite los:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Jetzt müssen wir nur noch x ausrechnen:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Das Ergebnis: Das Auto verbraucht nach 250 gefahrenen Kilometern 15 Liter Benzin.

Antiproportionaler Dreisatz

Gilt „je mehr … desto weniger“, handelt es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang. Beispiele:

• Je mehr Leute sich eine Pizza teilen, desto kleiner ist das Stück, das jeder bekommt.
• Je schneller unser Internet ist, desto früher haben wir einen Film heruntergeladen.
• Je schneller wir fahren, desto früher kommen wir am Ziel an.
• Je mehr Arbeiter an einem Haus arbeiten, desto früher ist das Haus fertig.

Beispiel: Auf deinem Computer hast du Internet mit einer Geschwindigkeit von 2 MB pro Sekunde und hast eine Aufnahme eines Konzerts in 450 Sekunden heruntergeladen. Wie lange würdest du für dasselbe Konzert brauchen, wenn du Internet mit 6 MB pro Sekunde hättest?

Das Vorgehen ist dasselbe wie beim proportionalen Dreisatz – wir schreiben die Angaben in eine übersichtliche Tabelle:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ Sekunden}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ Sekunden}\end{array}$$

Nun die Pfeile. Der rechte Pfeil geht wieder von unten nach oben, daran ändert sich nichts. Weil es sich aber um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt, geht der linke Pfeil in die entgegengesetzte Richtung, von oben nach unten.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ Sekunden}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ Sekunden}\uparrow \end{array}$$

Das weitere Vorgehen ist wieder gleich – aus dieser Tabelle bilden wir Brüche, erneut in Pfeilrichtung. So erhalten wir die Brüche $\frac{2}{6}$ und $\frac{x}{450}$, die wir gleichsetzen:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Wir multiplizieren die Gleichung mit 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Und berechnen x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Die Aufnahme laden wir mit der schnelleren Verbindung in 150 Sekunden herunter.

Beachte, dass das Vorgehen mit der Intuition übereinstimmt. Im letzten Schritt teilen wir 450 durch drei, was zu erwarten ist. Die Erhöhung der Geschwindigkeit von 2 MB/s auf 6 MB/s ist eine Verdreifachung, wir haben also eine dreimal so große Geschwindigkeit. Deshalb würden wir erwarten, dass die Zeit, in der wir den Film herunterladen, auf ein Drittel sinkt → und genau das drückt der Bruch $\frac{450}{3}$ aus.

Beispiele

Erstes Beispiel: Ein Zimmer in einem Luxushotel kostet für sieben Nächte vierhundertzwanzig Euro. Wie viel würde uns dasselbe Zimmer kosten, wenn wir zwölf Tage dort verbringen wollten?

Zuerst schreiben wir die Angaben in eine Tabelle:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ Tage}& \dots & 420\text{ Euro}\\ 12\text{ Tage}& \dots & x\text{ Euro}\end{array}$$

Nun müssen wir entscheiden, ob es sich um einen proportionalen oder antiproportionalen Zusammenhang handelt. Gilt: Je länger wir dort bleiben, desto weniger zahlen wir? Nein, es gilt das Gegenteil – je länger wir dort bleiben, desto mehr zahlen wir. Es handelt sich also um einen proportionalen Zusammenhang. Wir ergänzen die Pfeile:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ Tage}& \dots & 420\text{ Euro}\\ \uparrow 12\text{ Tage}& \dots & x\text{ Euro}\uparrow \end{array}$$

Mithilfe der Pfeile bilden wir die Brüche:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{420}$$

Wir lösen die Gleichung:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{420}\\ 420\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 420\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{420\cdot 12}{7}\\ x& =& 720\end{array}$$

Das Zimmer würde uns für 12 Tage 720 Euro kosten.

Zweites Beispiel: 10 Erntehelfer pflücken Erdbeeren und sammeln pro Tag 50 Kilo Erdbeeren. Wie viele Kilogramm Erdbeeren sammeln 7 Erntehelfer pro Tag?

Wir schreiben die Angaben in eine Tabelle:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ Helfer}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ Helfer}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Handelt es sich um einen proportionalen oder antiproportionalen Zusammenhang? In diesem Beispiel gibt es eine kleine Falle, denn anders als in den vorherigen Beispielen haben wir in der Zeile mit der Unbekannten weniger Helfer als in der ersten Zeile. Lass dich dadurch nicht verwirren, es handelt sich weiterhin um einen proportionalen Zusammenhang, denn je mehr Helfer, desto mehr gesammelte Erdbeeren. Oder umgekehrt – je weniger Helfer, desto weniger Erdbeeren. Das ist ebenfalls ein proportionaler Zusammenhang. Beide Pfeile gehen also von unten nach oben.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ Helfer}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ Helfer}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Wir bilden die Brüche:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

und berechnen x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Sieben Erntehelfer sammeln pro Tag 35 Kilo Erdbeeren.

Drittes Beispiel: Jonas' durchschnittliche Schrittlänge beträgt 80 cm. Auf dem Heimweg von der Schule hat er gezählt, dass er 1300 Schritte gemacht hat. Wie viele Schritte würde er machen, wenn ein Schritt genau einen Meter lang wäre?

Zuerst die Tabelle. Beachte, dass in der Aufgabe 80 cm und ein Meter stehen. In der Tabelle brauchen wir die Angaben aber in derselben Einheit, also verwenden wir statt eines Meters 100 cm – wir könnten auch umgekehrt vorgehen und 1 Meter und 0,8 Meter schreiben.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ Schritte}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ Schritte}\end{array}$$

Und um welchen Zusammenhang handelt es sich? Je länger unser Schritt ist, desto weniger Schritte brauchen wir, um eine bestimmte Strecke zurückzulegen, es ist also ein antiproportionaler Zusammenhang. Der linke Pfeil geht von oben nach unten, der rechte von unten nach oben.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ Schritte}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ Schritte}\uparrow \end{array}$$

Die Brüche sehen so aus:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Wir lösen nach x auf und berechnen es:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Jonas würde für dieselbe Strecke nur 1040 Schritte brauchen.

Formeln

Wie man an den bisherigen Rechnungen sieht, ist das Vorgehen immer gleich und führt zu einfachen Formeln. Zuerst schreiben wir die Tabelle symbolisch auf:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Dann gelten diese Formeln. Für den proportionalen Dreisatz:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Und für den antiproportionalen Dreisatz:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$