Règle de trois

La règle de trois sert aux calculs simples de proportionnalité directe et inverse. Le plus souvent, on connaît trois grandeurs liées entre elles et l’on doit calculer la quatrième. Dans la règle de trois, il faut bien distinguer la proportionnalité directe de la proportionnalité inverse, car les calculs sont différents.

Une mise en situation

Tu vas au magasin acheter des provisions de limonade. Avec 4 €, tu as acheté 5 bouteilles de limonade. Combien de bouteilles aurais-tu achetées avec 8 € ? C’est un exemple typique que l’on peut résoudre avec la règle de trois.

On peut ici raisonner simplement : dans le premier cas, nous disposions de 4 €, dans le second de 8 €. On s’attend donc à ce que, si l’on dispose de deux fois plus d’argent, on achète deux fois plus de bouteilles. Avec 8 €, on achèterait ainsi 2 · 5 = 10 bouteilles.

Le raisonnement « plus… plus… » n’est pas toujours évident, car voici un autre exemple : 10 maçons construisent une maison en quatre mois. En combien de temps 20 maçons construiront-ils la maison ? Si l’on applique le raisonnement précédent — il y a deux fois plus de maçons, donc il faudra deux fois plus de mois — on obtient que 20 maçons construiraient la maison en 2 · 4 = 8 mois.

Ce raisonnement n’est bien sûr pas correct, car plus il y a de maçons, moins il faut de mois pour construire la maison. Il faut donc raisonner à l’inverse : deux fois plus de maçons construisent la maison en deux fois moins de mois. On obtient ainsi le bon résultat : 20 maçons construisent la maison en 4/2 = 2 mois.

Ces deux raisonnements différents ont aussi leurs noms : la proportionnalité directe et la proportionnalité inverse.

Proportionnalité directe

Si l’on a « plus… plus… », il s’agit d’une proportionnalité directe. Exemples :

• Plus on a d’argent, plus on peut acheter de limonades, de concombres ou de trottinettes.
• Plus un journaliste écrit d’articles, plus il gagne d’argent.
• Plus il y a de terrassiers qui creusent, plus ils extraient de terre.
• Plus on laisse la pompe fonctionner longtemps, plus on pompe d’eau.

Exemple : une voiture consomme 6 litres d’essence aux 100 kilomètres. Combien de litres consomme-t-elle après avoir parcouru 250 kilomètres ? C’est un exemple de proportionnalité directe, car plus la voiture roule, plus elle consomme d’essence.

Méthode : commençons par noter ce que nous connaissons. Pour cela, utilisons le tableau suivant, qui permet de voir ce que nous connaissons et ce que nous voulons calculer :

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litres}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litres}\end{array}$$

Sur la première ligne, nous avons les données que nous connaissons parfaitement. Sur la deuxième ligne, à droite se trouve la grandeur inconnue, et à gauche la donnée dont on veut déduire l’inconnue. Dans chaque colonne, les grandeurs doivent toujours être les mêmes : ici, une colonne ne contient que des kilomètres, et l’autre que des litres.

Il existe une astuce pour résoudre cet exemple. Dessine d’abord à droite une flèche allant du bas vers le haut, comme ceci :

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litres}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litres}\uparrow \end{array}$$

S’il s’agit d’une proportionnalité directe, on dessine à gauche la même flèche, du bas vers le haut :

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litres}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ litres}\uparrow \end{array}$$

À l’étape suivante, on forme des fractions à partir des colonnes, dans le sens des flèches. Le numérateur correspond au nombre où la flèche commence, et le dénominateur au nombre où la flèche se termine. On écrit l’égalité de ces fractions. Ainsi, de la première colonne (kilomètres) on obtient la fraction $\frac{250}{100}$, et de la seconde (litres) la fraction $\frac{x}{6}$. Ce qui donne l’équation :

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Il s’agit d’une simple équation du premier degré, que l’on peut résoudre par des transformations équivalentes. Multiplions toute l’équation par six, ce qui nous débarrasse de la fraction à droite :

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Il ne reste plus qu’à calculer x :

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Résultat : après avoir parcouru 250 kilomètres, la voiture consomme 15 litres d’essence.

Proportionnalité inverse

Si l’on a « plus…, moins… », il s’agit d’une proportionnalité inverse. Exemples :

• Plus il y a de personnes qui se partagent une pizza, plus chaque part est petite.
• Plus la connexion internet est rapide, plus tôt on télécharge un film.
• Plus on roule vite, plus tôt on arrive à destination.
• Plus il y a d’ouvriers sur un chantier, plus tôt la maison est construite.

Exemple : sur ton ordinateur, la connexion internet a un débit de 2 Mo par seconde, et tu as téléchargé l’enregistrement du concert de Léa en 450 secondes. En combien de temps aurais-tu téléchargé le même concert avec une connexion de 6 Mo par seconde ?

Le raisonnement est le même que pour la proportionnalité directe : notons les données dans un tableau clair :

$$\begin{array}{rcl}2\text{ Mo/s}& \dots & 450\text{ secondes}\\ 6\text{ Mo/s}& \dots & x\text{ secondes}\end{array}$$

Passons aux flèches. La flèche de droite va encore du bas vers le haut, rien ne change ici. Mais, comme il s’agit d’une proportionnalité inverse, la flèche de gauche va dans le sens contraire, du haut vers le bas.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ Mo/s}& \dots & 450\text{ secondes}\\ \downarrow 6\text{ Mo/s}& \dots & x\text{ secondes}\uparrow \end{array}$$

La suite est identique : on forme à partir de ce tableau des fractions, toujours dans le sens des flèches. On obtient ainsi les fractions $\frac{2}{6}$ et $\frac{x}{450}$, dont on écrit l’égalité :

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Multiplions l’équation par 450 :

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Calculons x :

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Avec la connexion plus rapide, on télécharge le concert de Léa en 150 secondes.

Remarque que le raisonnement est conforme à l’intuition. Dans la dernière étape, on divise 450 par trois, ce qui est attendu. Le passage de 2 Mo/s à 6 Mo/s est une multiplication par trois : la vitesse est trois fois plus grande. On s’attend donc à ce que la durée de téléchargement soit trois fois plus courte → et c’est exactement ce qu’exprime la fraction $\frac{450}{3}$.

Exemples

Premier exemple : une chambre d’un hôtel de luxe coûte 420 € pour sept nuits. Combien coûtera la même chambre si l’on veut y séjourner douze jours ?

Notons d’abord les données dans un tableau :

$$\begin{array}{rcl}7\text{ jours}& \dots & 420\text{ euros}\\ 12\text{ jours}& \dots & x\text{ euros}\end{array}$$

Il faut maintenant décider s’il s’agit d’une proportionnalité directe ou inverse. Est-ce que, plus on reste longtemps, moins on paie ? Non, c’est l’inverse : plus on reste longtemps, plus on paie. Il s’agit donc d’une proportionnalité directe. Ajoutons les flèches :

$$\begin{array}{rcl}7\text{ jours}& \dots & 420\text{ euros}\\ \uparrow 12\text{ jours}& \dots & x\text{ euros}\uparrow \end{array}$$

À l’aide des flèches, formons les fractions :

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{420}$$

Résolvons l’équation :

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{420}\\ 420\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 420\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{420\cdot 12}{7}\\ x& =& 720\end{array}$$

Pour douze jours, la chambre nous coûterait 720 euros.

Deuxième exemple : 10 travailleurs saisonniers cueillent des fraises et en ramassent 50 kilos par jour. Combien de kilos de fraises 7 saisonniers ramassent-ils en une journée ?

Notons les données dans un tableau :

$$\begin{array}{rcl}10\text{ saisonniers}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ saisonniers}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

S’agit-il d’une proportionnalité directe ou inverse ? Ici, il y a un piège : contrairement aux exemples précédents, la ligne de l’inconnue contient un nombre de saisonniers plus petit que sur la première ligne. Ne te laisse pas troubler : il s’agit tout de même d’une proportionnalité directe, car plus il y a de saisonniers, plus ils cueillent de fraises. Ou inversement : moins il y a de saisonniers, moins ils cueillent de fraises. C’est aussi une proportionnalité directe. Les deux flèches vont donc du bas vers le haut.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ saisonniers}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ saisonniers}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Formons les fractions :

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

et calculons x :

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Sept saisonniers cueillent 35 kilos de fraises par jour.

Troisième exemple : le pas moyen de Louis mesure 80 cm. En rentrant de l’école, il a compté 1 300 pas. Combien de pas aurait-il faits si son pas mesurait exactement un mètre ?

Commençons par le tableau. Attention : l’énoncé donne 80 cm et un mètre. Dans le tableau, les données doivent cependant avoir la même unité, donc on utilise 100 cm à la place d’un mètre. On aurait aussi pu faire l’inverse et écrire 1 mètre et 0,8 mètre.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ pas}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ pas}\end{array}$$

S’agit-il de la proportionnalité directe ou inverse ? Plus le pas est long, moins il faut de pas pour parcourir une certaine distance : il s’agit donc d’une proportionnalité inverse. La flèche de gauche va du haut vers le bas, celle de droite du bas vers le haut.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ pas}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ pas}\uparrow \end{array}$$

Les fractions s’écrivent ainsi :

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Isolons x et calculons-le :

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Louis n’aurait besoin que de 1 040 pas pour parcourir la même distance.

Formules

Comme le montrent les calculs précédents, la démarche est toujours la même et conduit à des formules simples. Écrivons d’abord le tableau de façon symbolique :

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Les formules suivantes s’appliquent alors. Pour la proportionnalité directe :

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Et pour la proportionnalité inverse :

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$