Regla de tres

La regla de tres se usa en cálculos sencillos de proporcionalidad directa e inversa. Casi siempre conocemos tres datos que dependen unos de otros y tenemos que calcular el cuarto. En la regla de tres hay que distinguir con cuidado la proporcionalidad directa de la inversa, porque los cálculos son distintos.

Motivación

Vas a la tienda a comprar provisiones de limonada. Por 4 euros has comprado 5 botellas de limonada. ¿Cuántas botellas comprarías si tuvieras 8 euros? Este es un ejemplo típico que se puede resolver con la regla de tres.

En este momento podemos hacer un razonamiento sencillo: en el primer caso teníamos 4 euros y en el segundo, 8 euros. Cabe esperar que, si tenemos el doble de euros, con ellos compremos el doble de botellas. Por 8 euros compraríamos, pues, 2 · 5 = 10 limonadas.

El procedimiento anterior de «cuanto más… más» no es del todo evidente, porque podemos tener el siguiente ejemplo: 10 albañiles construyen una casa en cuatro meses. ¿Cuánto tardarán en construirla 20 albañiles? Si usamos el procedimiento anterior —hay el doble de albañiles, así que habrá el doble de meses—, obtenemos que 20 albañiles construirían la casa en 2 · 4 = 8 meses.

Este procedimiento, naturalmente, no es correcto, porque cuantos más albañiles, menos meses tardarán en construir la casa. Tenemos que proceder al revés: el doble de albañiles construirán la casa en la mitad de meses. Así obtenemos el resultado correcto: 20 albañiles construirán la casa en 4/2 = 2 meses.

Los dos procedimientos anteriores tienen también su nombre: proporcionalidad directa e inversa.

Proporcionalidad directa

Si se cumple que «cuanto más… más», se trata de una proporcionalidad directa. Ejemplos:

• Cuanto más dinero tenemos, más limonadas/pepinos/patinetes podemos comprar.
• Cuantos más artículos escribe un periodista, más dinero gana.
• Cuantos más obreros caven, más tierra sacarán.
• Cuanto más tiempo dejemos funcionar la bomba, más agua extraeremos.

Ejemplo: Un coche consume 6 litros de gasolina cada 100 kilómetros. ¿Cuántos litros de gasolina consume después de recorrer 250 kilómetros? Este es un ejemplo de proporcionalidad directa, porque cuanto más recorre el coche, más gasolina consume.

Procedimiento: Primero anotamos lo que conocemos. Para ello usamos la tabla siguiente, que nos aclara qué conocemos y qué queremos calcular:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litros}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litros}\end{array}$$

En la primera fila tenemos anotados los datos que conocemos por completo. En la segunda fila tenemos a la derecha el dato que no conocemos y a la izquierda el dato para el cual queremos calcular la incógnita. En las columnas tiene que haber siempre los mismos datos; en este caso, en una columna siempre kilómetros o siempre litros.

Existe una regla mnemotécnica que te ayudará a calcular este ejemplo. Primero dibuja a la derecha una flecha de abajo arriba, así:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litros}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litros}\uparrow \end{array}$$

Si se trata de una proporcionalidad directa, a la izquierda dibujamos la misma flecha, de abajo arriba:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litros}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ litros}\uparrow \end{array}$$

En el paso siguiente formamos fracciones con las columnas en el sentido de las flechas. El numerador corresponde al número donde empieza la flecha y el denominador, al número donde termina. Igualamos estas fracciones. De la primera columna (kilómetros) obtenemos la fracción $\frac{250}{100}$ y de la segunda (litros), la fracción $\frac{x}{6}$. Escrito como ecuación:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Esta es una ecuación lineal corriente, que podemos resolver con transformaciones equivalentes. Multiplicamos toda la ecuación por seis, con lo que nos libramos de la fracción del segundo miembro:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Ahora solo falta calcular x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

El resultado es que el coche, después de recorrer 250 kilómetros, consume 15 litros de gasolina.

Proporcionalidad inversa

Si se cumple que «cuanto más… menos», se trata de una proporcionalidad inversa. Ejemplos:

• Cuantas más personas se reparten una pizza, más pequeño es el trozo que recibe cada una.
• Cuanto más rápido es nuestro internet, antes descargamos una película.
• Cuanto más rápido vayamos, antes llegaremos al destino.
• Cuantos más trabajadores trabajan en una casa, antes estará construida.

Ejemplo: En tu ordenador tienes internet a una velocidad de 2 MB por segundo y has descargado la grabación de un concierto en 450 segundos. ¿Cuánto tardarías en descargar el mismo concierto si tuvieras internet a una velocidad de 6 MB por segundo?

El procedimiento será el mismo que en la proporcionalidad directa: anotamos los datos en una tabla clara:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ segundos}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ segundos}\end{array}$$

Ahora las flechas. La flecha de la derecha será de nuevo de abajo arriba; aquí no cambia nada. Pero, como se trata de una proporcionalidad inversa, la flecha de la izquierda irá en sentido contrario, de arriba abajo.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ segundos}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ segundos}\uparrow \end{array}$$

El resto del procedimiento ya es igual: formamos fracciones con esta tabla, de nuevo en el sentido de las flechas. Obtenemos así las fracciones $\frac{2}{6}$ y $\frac{x}{450}$, que igualamos:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Multiplicamos la ecuación por 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Y calculamos x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Con la conexión más rápida descargaremos el concierto en 150 segundos.

Fíjate en que el procedimiento concuerda con la intuición. En el último paso dividimos 450 entre tres, algo que cabía esperar. La velocidad pasa de 2 MB/s a 6 MB/s, es decir, se triplica: tenemos una velocidad tres veces mayor. Por eso esperaríamos que el tiempo que tardamos en descargar la película sea tres veces menor → y eso es exactamente lo que expresa la fracción $\frac{450}{3}$.

Ejemplos

Primer ejercicio: La habitación de un hotel de lujo cuesta cuatrocientos veinte euros por siete noches. ¿Cuánto nos costará la misma habitación si quisiéramos ir doce noches?

Primero anotamos los datos en una tabla:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ noches}& \dots & 420\text{ euros}\\ 12\text{ noches}& \dots & x\text{ euros}\end{array}$$

Ahora tenemos que decidir si se trata de una proporcionalidad directa o inversa. ¿Se cumple que cuanto más tiempo nos alojemos, menos pagaremos? No, ocurre lo contrario: cuanto más tiempo estemos, más pagaremos. Se trata, pues, de una proporcionalidad directa. Completamos las flechas:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ noches}& \dots & 420\text{ euros}\\ \uparrow 12\text{ noches}& \dots & x\text{ euros}\uparrow \end{array}$$

Con ayuda de las flechas formamos las fracciones:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{420}$$

Resolvemos la ecuación:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{420}\\ 420\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 420\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{420\cdot 12}{7}\\ x& =& 720\end{array}$$

La habitación nos costaría 720 euros por 12 noches.

Segundo ejercicio: 10 trabajadores recogen 50 kilos de fresas en un día. ¿Cuántos kilogramos de fresas recogen en un día 7 trabajadores?

Anotamos los datos en una tabla:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ trab.}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ trab.}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

¿Se trata de una proporcionalidad directa o inversa? En este ejemplo hay cierta trampa, porque, a diferencia de los ejemplos anteriores, en la fila de la incógnita tenemos menos trabajadores que en la primera fila. No te dejes confundir: sigue siendo una proporcionalidad directa, porque cuantos más trabajadores, más fresas recogidas. O al revés: cuantos menos trabajadores, menos fresas. Eso también es proporcionalidad directa. Así que las dos flechas irán de abajo arriba.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ trab.}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ trab.}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Formamos las fracciones:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

y calculamos x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Siete trabajadores recogen en un día 35 kilos de fresas.

Tercer ejercicio: La longitud media del paso de Pablo es de 80 cm. De camino a casa desde el colegio ha contado que ha dado 1300 pasos. ¿Cuántos pasos habría dado si cada uno midiera un metro exacto?

Primero la tabla. Ojo: en el enunciado tenemos 80 cm y un metro. Pero en la tabla necesitamos los datos en la misma unidad, así que en lugar de un metro usamos 100 cm; también podríamos seguir el procedimiento contrario y escribir 1 metro y 0,8 metros.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ pasos}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ pasos}\end{array}$$

¿Y qué proporcionalidad es? Cuanto más largo es el paso, menos pasos necesitamos para recorrer cierta distancia; se trata, pues, de una proporcionalidad inversa. La flecha de la izquierda irá de arriba abajo y la de la derecha, de abajo arriba.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ pasos}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ pasos}\uparrow \end{array}$$

Las fracciones quedarán así:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Despejamos y calculamos x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Pablo necesitaría para la misma distancia solo 1040 pasos.

Fórmulas

Como se ve en los cálculos anteriores, los procedimientos son siempre los mismos y llevan a fórmulas sencillas. Primero escribimos la tabla de forma simbólica:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Entonces valen estas fórmulas. Para la proporcionalidad directa:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Y para la proporcionalidad inversa:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$