Hármasszabály

A hármasszabályt az egyenes és a fordított arányosság egyszerű számításainál használjuk. Többnyire három egymástól függő adatot ismerünk, és a negyediket kell kiszámítanunk. A hármasszabálynál gondosan meg kell különböztetnünk az egyenes és a fordított arányosságot, mert a számításuk eltér.

Motiváció

Elmész a boltba, hogy limonádékészletet vegyél. 1500 forintért 5 üveg limonádét vettél. Hány limonádét vennél, ha 3000 forintod lenne? Ez egy tipikus példa, amelyet hármasszabállyal lehet megoldani.

Ilyenkor egyszerű gondolatmenetet követhetünk – az első esetben 1500 forintunk volt, a másodikban 3000 forintunk. Várhatjuk tehát, hogy ha kétszer annyi forintunk van, akkor kétszer annyi üveget vehetünk érte. 3000 forintért tehát 2 · 5 = 10 limonádét vennénk.

Az előző „minél több… annál több” gondolatmenet nem teljesen magától értetődő, mert lehet például ilyen feladatunk: 10 kőműves négy hónap alatt épít fel egy házat. Mennyi idő alatt építi fel a házat 20 kőműves? Ha az előző módszert használjuk – kétszer annyi kőműves van, tehát kétszer annyi hónap lesz – akkor azt kapjuk, hogy 20 kőműves 2 · 4 = 8 hónap alatt építi fel a házat.

Ez a módszer természetesen nem helyes, hiszen minél több kőműves van, annál kevesebb hónapig tart nekik felépíteni a házat. Fordítva kell eljárnunk: kétszer annyi kőműves feleannyi hónap alatt építi fel a házat. Így a helyes eredményt kapjuk: 20 kőműves 4/2 = 2 hónap alatt építi fel a házat.

Ennek a két különböző eljárásnak neve is van: egyenes és fordított arányosság.

Egyenes arányosság

Ha igaz, hogy „minél több… annál több”, akkor egyenes arányosságról van szó. Példák:

• Minél több pénzünk van, annál több limonádét/uborkát/rollert vehetünk.
• Minél több cikket ír egy újságíró, annál több pénzt keres.
• Minél több kubikos ás, annál többet ásnak ki.
• Minél tovább hagyjuk működni a szivattyút, annál több vizet szivattyúzunk ki.

Példa: Egy autó 100 kilométeren 6 liter benzint fogyaszt. Hány liter benzint fogyaszt 250 kilométer megtétele után? Ez egyenes arányosságra vonatkozó példa, mert minél többet megy az autó, annál több benzint fogyaszt.

Megoldás: Először felírjuk, amit tudunk. Ehhez a következő táblázatot használjuk, amely áttekinthetővé teszi, mit ismerünk és mit akarunk kiszámítani:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\end{array}$$

Az első sorban azok az adatok állnak, amelyeket teljesen ismerünk. A második sorban a jobb oldalon az ismeretlen adat áll, a bal oldalon pedig az az adat, amelyhez az ismeretlent ki akarjuk számítani. Az oszlopokban mindig azonos adatoknak kell állniuk, ebben az esetben egy oszlopban vagy mindig kilométerek, vagy mindig literek.

Van egy segédeszköz, amely segít ezt a példát megoldani. Először rajzolj jobb oldalra egy nyilat alulról felfelé, így:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

Ha egyenes arányosságról van szó, akkor bal oldalra ugyanilyen nyilat rajzolunk, alulról felfelé:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

A következő lépésben az oszlopokból a nyilak irányában törteket készítünk. A számláló az a szám, ahol a nyíl kezdődik, a nevező pedig az a szám, ahol a nyíl végződik. Ezeket a törteket egyenlővé tesszük. Az első oszlopból (kilométerek) tehát az $\frac{250}{100}$ törtet kapjuk, a másodikból (literek) az $\frac{x}{6}$ törtet. Egyenletként felírva:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Ez egy közönséges elsőfokú egyenlet, amelyet ekvivalens átalakításokkal oldhatunk meg. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk hattal, így megszabadulunk a jobb oldali törttől:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Most már csak ki kell számolni az x-et:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Az eredmény: az autó 250 kilométer megtétele után 15 liter benzint fogyaszt.

Fordított arányosság

Ha igaz, hogy „minél több… annál kevesebb”, akkor fordított arányosságról van szó. Példa:

• Minél többen osztoznak a pizzán, annál kisebb szeletet kap mindenki.
• Minél gyorsabb az internetünk, annál hamarabb letöltünk egy filmet.
• Minél gyorsabban megyünk, annál hamarabb érünk célba.
• Minél több munkás dolgozik a házon, annál hamarabb elkészül a ház.

Példa: A számítógépeden 2 MB/s sebességű az internet, és egy koncertfelvételt 450 másodperc alatt töltöttél le. Mennyi idő alatt töltenéd le ugyanezt a koncertet, ha az internet sebessége 6 MB/s lenne?

A megoldás ugyanúgy megy, mint az egyenes arányosságnál – az adatokat áttekinthető táblázatba írjuk:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ másodperc}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ másodperc}\end{array}$$

Most jönnek a nyilak. A jobb oldali nyíl megint alulról felfelé mutat, ezen nem változik semmi. De mivel fordított arányosságról van szó, a bal oldali nyíl ellenkező irányba, felülről lefelé mutat.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ másodperc}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ másodperc}\uparrow \end{array}$$

A további lépések ugyanazok – a táblázatból törteket készítünk, ismét a nyilak irányában. Így az $\frac{2}{6}$ és az $\frac{x}{450}$ törtet kapjuk, amelyeket egyenlővé teszünk:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Az egyenletet megszorozzuk 450-nel:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

És kiszámítjuk az x-et:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

A koncertet a gyorsabb kapcsolattal 150 másodperc alatt töltjük le.

Figyeld meg, hogy az eljárás összhangban van a józan ésszel. Az utolsó lépésben a 450-et osztjuk hárommal, ami várható. A sebesség 2 MB/s-ról 6 MB/s-ra háromszorosára nőtt, háromszor akkora a sebességünk. Ezért azt várnánk, hogy a film letöltési ideje harmadára csökken → és pontosan ezt fejezi ki az $\frac{450}{3}$ tört.

Példák

Első példa: Egy luxusszállodában egy szoba hét éjszakára százötvenhétezer-ötszáz forintba kerül. Mennyibe kerül ugyanez a szoba, ha tizenkét napra mennénk oda?

Először táblázatba írjuk az adatokat:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ nap}& \dots & 157500\text{ forint}\\ 12\text{ nap}& \dots & x\text{ forint}\end{array}$$

Most el kell döntenünk, hogy egyenes vagy fordított arányosságról van-e szó. Igaz, hogy minél tovább ott tartózkodunk, annál kevesebbet fizetünk? Nem igaz, az ellenkezője igaz – minél tovább ott vagyunk, annál többet fizetünk. Tehát egyenes arányosság. Berajzoljuk a nyilakat:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ nap}& \dots & 157500\text{ forint}\\ \uparrow 12\text{ nap}& \dots & x\text{ forint}\uparrow \end{array}$$

A nyilak segítségével felírjuk a törteket:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{157500}$$

Megoldjuk az egyenletet:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{157500}\\ 157500\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 157500\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{157500\cdot 12}{7}\\ x& =& 270000\end{array}$$

A szoba 12 napra 270 000 forintba kerülne.

Második példa: 10 diák epret szed, és egy nap alatt 50 kiló epret szed le. Hány kiló epret szed le egy nap alatt 7 diák?

Az adatokat táblázatba írjuk:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ diák}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ diák}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Egyenes vagy fordított arányosságról van szó? Ebben a példában van egy kis csel, mert az előző példákkal ellentétben az ismeretlent tartalmazó sorban kevesebb diák van, mint az első sorban. Ettől ne zavarodj meg, még mindig egyenes arányosság, mert minél több a diák, annál több a leszedett eper. Vagy fordítva – minél kevesebb a diák, annál kevesebb az eper. Ez is egyenes arányosság. Tehát mindkét nyíl alulról felfelé mutat.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ diák}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ diák}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Felírjuk a törteket:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

és kiszámítjuk az x-et:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Hét diák egy nap alatt 35 kiló epret szed le.

Harmadik példa: Józsi átlagos lépéshossza 80 cm. Az iskolából hazafelé menet megszámolta, hogy 1300 lépést tett. Hány lépést tenne, ha egy lépése pontosan egy méter lenne?

Először a táblázat. Figyelj arra, hogy a feladatban 80 cm és egy méter szerepel. A táblázatban viszont azonos mértékegységű adatokra van szükségünk, ezért az egy méter helyett 100 cm-t írunk – fordítva is eljárhatnánk, és írhatnánk 1 métert és 0,8 métert.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ lépés}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ lépés}\end{array}$$

És melyik arányosság ez? Igaz, hogy minél hosszabb a lépésünk, annál kevesebb lépés kell egy adott távolság megtételéhez, tehát fordított arányosság. A bal oldali nyíl felülről lefelé, a jobb oldali alulról felfelé mutat.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ lépés}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ lépés}\uparrow \end{array}$$

A törtek így néznek ki:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Kifejezzük és kiszámítjuk az x-et:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Józsinak ugyanarra a távolságra csak 1040 lépésre lenne szüksége.

Képletek

Ahogy az előző számításokból látszik, az eljárások mindig ugyanazok, és egyszerű képletekhez vezetnek. Először írjuk fel a táblázatot szimbolikusan:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Ekkor a következő képletek érvényesek. Egyenes arányosságra:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Fordított arányosságra pedig:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$