Regula de trei simplă

Regula de trei simplă se folosește la calcule simple cu mărimi direct și invers proporționale. De obicei cunoaștem trei date dependente între ele și trebuie să calculăm a patra. La regula de trei simplă trebuie să distingem cu grijă proporționalitatea directă de cea inversă, pentru că au calcule diferite.

Motivație

Mergi la magazin să cumperi provizii de limonadă. Cu 20 de lei ai cumpărat 5 sticle de limonadă. Câte sticle ai cumpăra dacă ai avea 40 de lei? Este un exemplu tipic care se poate rezolva cu regula de trei simplă.

Acum putem face un raționament simplu – în primul caz aveam la dispoziție 20 de lei, în al doilea 40 de lei. Ne putem aștepta deci ca, dacă avem de două ori mai mulți bani, să cumpărăm de două ori mai multe sticle. Cu 40 de lei am cumpăra deci 2 · 5 = 10 sticle de limonadă.

Raționamentul „cu cât mai mult… cu atât mai mult” nu este chiar de la sine înțeles, pentru că putem avea următorul exemplu: 10 zidari construiesc o casă în patru luni. În cât timp vor construi casa 20 de zidari? Dacă folosim raționamentul anterior – zidarii sunt de două ori mai mulți, deci lunile vor fi de două ori mai multe – obținem că 20 de zidari ar construi casa în 2 · 4 = 8 luni.

Acest raționament, desigur, nu este corect, pentru că cu cât sunt mai mulți zidari, cu atât mai puține luni le va lua să construiască casa. Trebuie să procedăm invers: de două ori mai mulți zidari construiesc casa în de două ori mai puține luni. Obținem astfel rezultatul corect: 20 de zidari construiesc casa în 4/2 = 2 luni.

Cele două procedee de mai sus au și nume: proporționalitate directă și proporționalitate inversă.

Mărimi direct proporționale

Dacă este valabil „cu cât mai mult… cu atât mai mult”, este vorba de proporționalitate directă. Exemple:

• Cu cât avem mai mulți bani, cu atât mai multe limonade/castraveți/trotinete ne putem cumpăra.
• Cu cât scrie un jurnalist mai multe articole, cu atât câștigă mai mulți bani.
• Cu cât vor săpa mai mulți muncitori, cu atât vor săpa mai mult.
• Cu cât lăsăm pompa să funcționeze mai mult timp, cu atât pompăm mai multă apă.

Exemplu: O mașină consumă 6 litri de benzină la 100 de kilometri. Câți litri de benzină consumă după ce parcurge 250 de kilometri? Acesta este un exemplu de proporționalitate directă, pentru că, cu cât mașina parcurge mai mult, cu atât consumă mai multă benzină.

Rezolvare: Mai întâi notăm ce știm. Folosim pentru asta următorul tabel, care ne arată mai clar ce știm și ce vrem să calculăm:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litri}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litri}\end{array}$$

Pe primul rând avem notate datele pe care le cunoaștem complet. Pe al doilea rând avem în dreapta valoarea pe care nu o cunoaștem, iar în stânga valoarea pentru care vrem să calculăm necunoscuta. Pe fiecare coloană trebuie să fie întotdeauna aceeași mărime, în acest caz o coloană conține fie numai kilometri, fie numai litri.

Există un truc care te ajută să rezolvi acest exemplu. Mai întâi desenează în dreapta o săgeată de jos în sus, astfel:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litri}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ litri}\uparrow \end{array}$$

Dacă mărimile sunt direct proporționale, desenăm în stânga aceeași săgeată, de jos în sus:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ litri}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ litri}\uparrow \end{array}$$

În pasul următor formăm fracții din coloane, în sensul săgeților. Numărătorul corespunde numărului de unde pornește săgeata, iar numitorul numărului unde se termină săgeata. Egalăm aceste fracții. Din prima coloană (kilometri) obținem fracția $\frac{250}{100}$, iar din a doua (litri) fracția $\frac{x}{6}$. Scris ca ecuație:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Aceasta este o simplă ecuație de gradul întâi, pe care o putem rezolva prin transformări echivalente. Înmulțim toată ecuația cu șase, ca să scăpăm de fracția din membrul drept:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Acum mai rămâne doar să calculăm x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Rezultatul este că mașina consumă 15 litri de benzină după ce parcurge 250 de kilometri.

Mărimi invers proporționale

Dacă este valabil „cu cât mai mult… cu atât mai puțin”, este vorba de proporționalitate inversă. Exemple:

• Cu cât mai multe persoane își împart o pizza, cu atât mai mică este bucata pe care o primește fiecare.
• Cu cât avem internetul mai rapid, cu atât mai repede descărcăm un film.
• Cu cât mergem mai repede, cu atât ajungem mai repede la destinație.
• Cu cât lucrează mai mulți muncitori la o casă, cu atât mai repede va fi gata casa.

Exemplu: Pe calculatorul tău ai internet cu viteza de 2 MB pe secundă și ai descărcat înregistrarea unui concert în 450 de secunde. În cât timp ai descărca același concert dacă ai avea internet cu viteza de 6 MB pe secundă?

Procedeul va fi același ca la proporționalitatea directă – scriem datele într-un tabel clar:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ secunde}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ secunde}\end{array}$$

Acum săgețile. Săgeata din dreapta va fi din nou de jos în sus, aici nu se schimbă nimic. Dar, pentru că este vorba de proporționalitate inversă, săgeata din stânga va merge în sens opus, de sus în jos.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ secunde}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ secunde}\uparrow \end{array}$$

Mai departe procedăm la fel – formăm fracții din acest tabel, din nou în sensul săgeților. Obținem fracțiile $\frac{2}{6}$ și $\frac{x}{450}$, pe care le egalăm:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Înmulțim ecuația cu 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Și calculăm x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Cu conexiunea mai rapidă descărcăm concertul în 150 de secunde.

Observă că procedeul este în acord cu intuiția. În ultimul pas împărțim 450 la trei, ceea ce era de așteptat. Viteza crește de la 2 MB/s la 6 MB/s, deci avem o viteză de trei ori mai mare. De aceea ne-am aștepta ca timpul în care descărcăm filmul să fie de trei ori mai mic → și exact asta exprimă fracția $\frac{450}{3}$.

Exemple

Primul exemplu: O cameră într-un hotel de lux costă pe șapte nopți două mii o sută de lei. Cât ne va costa aceeași cameră dacă am vrea să mergem acolo pentru douăsprezece zile?

Mai întâi scriem datele în tabel:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ zile}& \dots & 2100\text{ lei}\\ 12\text{ zile}& \dots & x\text{ lei}\end{array}$$

Acum trebuie să hotărâm dacă mărimile sunt direct sau invers proporționale. Este adevărat că, cu cât stăm acolo mai mult, cu atât plătim mai puțin? Nu, este valabil opusul – cu cât stăm acolo mai mult, cu atât plătim mai mult. Deci mărimile sunt direct proporționale. Completăm săgețile:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ zile}& \dots & 2100\text{ lei}\\ \uparrow 12\text{ zile}& \dots & x\text{ lei}\uparrow \end{array}$$

Cu ajutorul săgeților formăm fracțiile:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{2100}$$

Rezolvăm ecuația:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{2100}\\ 2100\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 2100\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{2100\cdot 12}{7}\\ x& =& 3600\end{array}$$

Camera ne-ar costa pe 12 zile 3600 de lei.

Al doilea exemplu: 10 culegători strâng căpșuni și într-o zi culeg 50 de kilograme de căpșuni. Câte kilograme de căpșuni culeg într-o zi 7 culegători?

Scriem datele în tabel:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ culegători}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ culegători}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Sunt mărimi direct sau invers proporționale? În acest exemplu apare o mică păcăleală, pentru că, spre deosebire de exemplele precedente, pe rândul cu necunoscuta avem un număr mai mic de culegători decât pe primul rând. Nu te lăsa păcălit, tot de proporționalitate directă este vorba, pentru că, cu cât sunt mai mulți culegători, cu atât mai multe căpșuni se culeg. Sau invers – cu cât sunt mai puțini culegători, cu atât mai puține căpșuni. Aceasta este tot proporționalitate directă. Deci ambele săgeți vor fi de jos în sus.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ culegători}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ culegători}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Formăm fracțiile:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

și calculăm x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Șapte culegători adună într-o zi 35 de kilograme de căpșuni.

Al treilea exemplu: Lungimea medie a pasului lui Mihai este de 80 cm. Pe drumul de la școală acasă a numărat că a făcut 1300 de pași. Câți pași ar fi făcut dacă fiecare ar fi măsurat un metru întreg?

Mai întâi tabelul. Atenție, în enunț avem 80 cm și un metru. În tabel avem însă nevoie de date în aceeași unitate de măsură, așa că în loc de un metru folosim 100 cm – am putea alege și procedeul opus și să scriem 1 metru și 0,8 metri.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ pași}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ pași}\end{array}$$

Și ce fel de mărimi sunt? Cu cât pasul este mai lung, cu atât avem nevoie de mai puțini pași ca să parcurgem o anumită distanță, deci mărimile sunt invers proporționale. Săgeata din stânga va fi de sus în jos, cea din dreapta de jos în sus.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ pași}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ pași}\uparrow \end{array}$$

Fracțiile vor arăta astfel:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Izolăm necunoscuta și calculăm x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Mihai ar avea nevoie pentru aceeași distanță de doar 1040 de pași.

Formule

După cum se vede din calculele de mai sus, procedeele sunt întotdeauna aceleași și duc la formule simple. Mai întâi scriem tabelul simbolic:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Atunci sunt valabile aceste formule. Pentru mărimi direct proporționale:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Iar pentru mărimi invers proporționale:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$