Κοινός παράγοντας

Πριν ασχοληθούμε με τον κοινό παράγοντα, θα δούμε τον επιμερισμό σε παρένθεση, γιατί σχετίζεται πολύ με την εξαγωγή κοινού παράγοντα. Θα μπορούσαμε μάλιστα να πούμε ότι η εξαγωγή κοινού παράγοντα είναι εντελώς η αντίστροφη πράξη του επιμερισμού σε παρένθεση.

Επιμερισμός σε παρένθεση

Ο επιμερισμός σε παρένθεση είναι μια απλή πράξη, που θα δείξουμε σε ένα παράδειγμα: ας υπολογίσουμε την παράσταση 3 · (5 + 8). Έχουμε δύο τρόπους να προχωρήσουμε. Μπορούμε να προσθέσουμε τους αριθμούς μέσα στην παρένθεση και παίρνουμε 3 · 13, επειδή 5 + 8 = 13.

Ο δεύτερος τρόπος είναι να κάνουμε επιμερισμό. Αυτό σημαίνει ότι παίρνουμε τον αριθμό μπροστά από την παρένθεση, το τρία, και με αυτόν τον αριθμό πολλαπλασιάζουμε και τους δύο αριθμούς μέσα στην παρένθεση. Το σύμβολο της πρόσθεσης μέσα στην παρένθεση μένει. Παίρνουμε έτσι:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Και οι δύο τρόποι οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Γιατί λειτουργεί ο επιμερισμός

Γιατί επιτρέπεται αυτή η διαδικασία, γιατί λειτουργεί ο επιμερισμός; Ας φανταστούμε το γινόμενο ως ανεπτυγμένο άθροισμα. Αν για παράδειγμα γράψουμε 3 · 7, λέμε ότι θέλουμε να προσθέσουμε τρεις φορές τον αριθμό επτά, δηλαδή 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Το ίδιο μπορούμε να αναπτύξουμε και ένα παράδειγμα με παρένθεση: το 3 · (5 + 8) είναι το ίδιο με το (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Επειδή στην πρόσθεση δεν έχει σημασία η σειρά, μπορούμε να αφαιρέσουμε τις παρενθέσεις και να μετακινήσουμε τα πεντάρια και τα οκτάρια το ένα δίπλα στο άλλο ως εξής: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Και εδώ βλέπουμε ήδη ότι αυτή την παράσταση μπορούμε να την ξαναγράψουμε με πολλαπλασιασμό ως εξής: 3 · 5 + 3 · 8, που είναι αυτό που κάναμε στον επιμερισμό.

Παραδείγματα επιμερισμού

1. Κάνε επιμερισμό στο 5 · (4 + 7). Πάλι απλώς πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς μέσα στην παρένθεση με το πέντε και παίρνουμε 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Κάνε επιμερισμό στο 6 · (x + 4). Ας μην τρομάξουμε με τον άγνωστο, απλώς πολλαπλασιάζουμε κι αυτόν με το έξι. Παίρνουμε: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Κάνε επιμερισμό στο x · (4 + 173). Τώρα έχουμε τον άγνωστο μπροστά από την παρένθεση, άρα πολλαπλασιάζουμε και τους δύο αριθμούς μέσα στην παρένθεση με το x. Παίρνουμε x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Κάνε επιμερισμό: 4x · (2x + 7). Τώρα έχουμε τον άγνωστο και μπροστά από την παρένθεση και μέσα σε αυτήν, αλλά ταυτόχρονα μπροστά από την παρένθεση έχουμε πιο σύνθετη παράσταση. Ούτε αυτό πειράζει, το περιεχόμενο της παρένθεσης το πολλαπλασιάζουμε με το 4x ως εξής: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Απλή εξαγωγή κοινού παράγοντα

Η εξαγωγή κοινού παράγοντα είναι η αντίστροφη διαδικασία από τον επιμερισμό σε παρένθεση. Στην αρχή έχουμε για παράδειγμα την παράσταση 10x + 5. Αν τώρα βρούμε κάποιον αριθμό με τον οποίο μπορούμε να διαιρέσουμε λογικά και τους δύο προσθετέους, μπορούμε αυτόν τον αριθμό να τον βγάλουμε, όπως λέμε, κοινό παράγοντα. Στην παράστασή μας αυτός θα είναι ο αριθμός 5, επειδή 10x / 5 = 2x και 5 / 5 = 1. Μπορούμε έτσι να γράψουμε ότι

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Όταν ξανακάνουμε επιμερισμό στην παρένθεση 5 · (2x + 1), παίρνουμε πάλι 10x + 5. Στόχος της εξαγωγής κοινού παράγοντα είναι συνήθως να απλοποιήσουμε τη δοσμένη παράσταση ή να τη φέρουμε σε μορφή γινομένου, ώστε να μπορούμε να την απλοποιήσουμε σε ένα κλάσμα.

Ο άγνωστος ως κοινός παράγοντας

Συχνά βγάζουμε κοινό παράγοντα τον ίδιο τον άγνωστο, δεν χρειάζεται να βγάζουμε μόνο αριθμό. Έτσι, αν έχουμε την παράσταση 3x² + 7x, μπορούμε να βγάλουμε το x, δηλαδή διαιρούμε και τους δύο όρους με το x, προσθέτουμε παρένθεση και πολλαπλασιάζουμε την παρένθεση με το x. Παίρνουμε 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Συνήθως προσπαθούμε να βγάλουμε όσο το δυνατόν «περισσότερα», άρα αν είχαμε την παράσταση 8x² + 12x, μπορούμε να βγάλουμε μόνο το x και να πάρουμε 8x² + 12x = x · (8x + 12), αλλά βλέπουμε ότι από την παρένθεση θα μπορούσαμε να βγάλουμε ακόμα τον αριθμό 4. Μπορούμε να το κάνουμε τώρα, εκ των υστέρων, και να πάρουμε: x · (4 · (2x + 3)). Τις εξωτερικές παρενθέσεις μπορούμε να τις αφαιρέσουμε και να πάρουμε: 4x · (2x + 3).

Στο ίδιο αποτέλεσμα όμως θα φτάναμε αν από την αρχική παράσταση 8x² + 12x βγάζαμε κατευθείαν την παράσταση 4x. Αν το γράφαμε αναλυτικά, θα παίρναμε

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Εξαγωγή κοινού παράγοντα από πιο σύνθετες παραστάσεις

Μέχρι τώρα βγάζαμε κοινό παράγοντα μόνο από παραστάσεις που περιέχουν δύο προσθετέους. Μπορούμε όμως να τον βγάζουμε και από μακρύτερες παραστάσεις. Για παράδειγμα από το 7x³ + 5x² + 2x μπορούμε να βγάλουμε το x και να πάρουμε x · (7x² + 5x + 2).

Δεν χρειάζεται επίσης να βγάζουμε πάντα μόνο κάποιον όμορφο αριθμό, μπορούμε να βγάλουμε οτιδήποτε. Για παράδειγμα από την παράσταση 6x + 7 μπορούμε να βγάλουμε τον αριθμό 2, αλλά παίρνουμε άσχημο αποτέλεσμα, γιατί πρέπει να διαιρέσουμε και τους δύο όρους με το δύο. Στο 6x βγαίνει άνετα, επειδή 6x / 2 = 3x, αλλά στον αριθμό 7 δεν βγαίνει και τόσο όμορφα: 7 / 2 = 3,5. Παίρνουμε έτσι την παράσταση: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Λυμένα παραδείγματα

• Βγάλε κοινό παράγοντα, όσο πιο όμορφα γίνεται, στο 25x + 45. Με την πρώτη ματιά φαίνεται ότι μπορούμε να βγάλουμε τον αριθμό 5, άρα παίρνουμε 5 · (5x + 9).

• Απλοποίησε το κλάσμα

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Πρώτα βγάζουμε στον αριθμητή του κλάσματος κοινό παράγοντα το x. Παίρνουμε έτσι στον αριθμητή x · (3x + 7). Τώρα μπορούμε σε ολόκληρο το κλάσμα να απλοποιήσουμε το x.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Βγάλε κοινό παράγοντα, όσο πιο όμορφα γίνεται, στο −2x² − 8x. Εδώ για πρώτη φορά έχουμε αρνητικούς αριθμούς. Αυτό δεν πειράζει καθόλου, όπως βγάζαμε θετικούς αριθμούς, έτσι μπορούμε να βγάζουμε και αρνητικούς. Μπορούμε λοιπόν να βγάλουμε αμέσως το −2x. Παίρνουμε

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$