Buiten haakjes brengen

Voordat we beginnen met buiten haakjes brengen, behandelen we eerst het uitwerken van haakjes, want dat hangt nauw samen met buiten haakjes brengen zelf. Je zou zelfs kunnen zeggen dat buiten haakjes brengen precies de omgekeerde bewerking is van haakjes uitwerken.

Haakjes uitwerken

Haakjes uitwerken is een eenvoudige bewerking, die we laten zien aan een voorbeeld: laten we de uitdrukking 3 · (5 + 8) uitrekenen. We hebben twee manieren om dat aan te pakken. We kunnen de uitdrukking tussen de haakjes optellen en krijgen 3 · 13, want 5 + 8 = 13.

De tweede manier is dat we de haakjes uitwerken. Dat betekent dat we het getal voor de haakjes, de drie, nemen en daarmee beide getallen tussen de haakjes vermenigvuldigen. Het plusteken tussen de haakjes blijft staan. We krijgen dus:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Beide werkwijzen leiden tot dezelfde uitkomst: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Waarom haakjes uitwerken werkt

Waarom mogen we deze werkwijze gebruiken, waarom werkt het uitwerken van haakjes? Stel je een product voor als een uitgeschreven som. Als we bijvoorbeeld 3 · 7 schrijven, zeggen we daarmee dat we drie keer het getal zeven willen optellen, dus 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Op dezelfde manier kunnen we ook een voorbeeld met haakjes uitschrijven: 3 · (5 + 8) is hetzelfde als (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Omdat bij optellen de volgorde niet uitmaakt, kunnen we de haakjes weghalen en de vijven en achten naast elkaar zetten, zo: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. En hier zien we dat we deze uitdrukking met vermenigvuldigen kunnen herschrijven als: 3 · 5 + 3 · 8, en dat is wat we bij het uitwerken van de haakjes hebben gedaan.

Voorbeelden van haakjes uitwerken

1. Werk 5 · (4 + 7) uit. Opnieuw vermenigvuldigen we alleen de getallen tussen de haakjes met de vijf en krijgen 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Werk 6 · (x + 4) uit. Laat je niet afschrikken door de onbekende en vermenigvuldig die gewoon ook met de zes. We krijgen: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Werk x · (4 + 173) uit. Nu staat de onbekende voor de haakjes, dus vermenigvuldigen we beide getallen binnen de haakjes met x. We krijgen x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Werk uit: 4x · (2x + 7). Nu staat de onbekende voor de haakjes en erin, maar voor de haakjes staat ook een ingewikkeldere uitdrukking. Ook dat geeft niet, we vermenigvuldigen de inhoud van de haakjes met 4x, zo: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Eenvoudig buiten haakjes brengen

Buiten haakjes brengen is de omgekeerde werkwijze van haakjes uitwerken. Aan het begin hebben we bijvoorbeeld de uitdrukking 10x + 5. Als we nu een getal vinden waardoor we beide termen netjes kunnen delen, kunnen we dat getal zogenaamd buiten haakjes brengen. In onze uitdrukking is dat het getal 5, want 10x / 5 = 2x en 5 / 5 = 1. We kunnen dus schrijven dat

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Als we de haakjes 5 · (2x + 1) weer uitwerken, krijgen we weer 10x + 5. Het doel van buiten haakjes brengen is meestal om de gegeven uitdrukking te vereenvoudigen of in de vorm van een product te krijgen, zodat we hem in een breuk kunnen vereenvoudigen.

De onbekende buiten haakjes brengen

Vaak brengen we de onbekende zelf buiten haakjes, we hoeven niet alleen een getal buiten haakjes te brengen. Als we dus de uitdrukking 3x² + 7x hebben, kunnen we daar x uit buiten haakjes brengen, dus we delen beide termen door x, zetten er haakjes omheen en vermenigvuldigen de haakjes met x. We krijgen 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Meestal proberen we “zoveel mogelijk” buiten haakjes te brengen, dus als we de uitdrukking 8x² + 12x hebben, kunnen we alleen x buiten haakjes brengen en krijgen 8x² + 12x = x · (8x + 12), maar we zien dat we uit de haakjes nog het getal 4 buiten haakjes kunnen brengen. Dat kunnen we nu, achteraf, doen en we krijgen: x · (4 · (2x + 3)). Die buitenste haakjes kunnen we weghalen en we krijgen: 4x · (2x + 3).

Tot dezelfde uitkomst waren we ook gekomen als we uit de oorspronkelijke uitdrukking 8x² + 12x meteen 4x buiten haakjes hadden gebracht. Als we dat uitschrijven, krijgen we

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Ingewikkeldere uitdrukkingen buiten haakjes brengen

Tot nu toe hebben we alleen uit uitdrukkingen met twee termen iets buiten haakjes gebracht. Maar we kunnen dat ook doen bij langere uitdrukkingen. Uit 7x³ + 5x² + 2x kunnen we bijvoorbeeld x buiten haakjes brengen en krijgen x · (7x² + 5x + 2).

We hoeven ook niet altijd alleen een mooi getal buiten haakjes te brengen, we kunnen alles buiten haakjes brengen. Uit de uitdrukking 6x + 7 kunnen we bijvoorbeeld het getal 2 buiten haakjes brengen, maar we krijgen dan een lelijke uitkomst, want we moeten beide termen door twee delen. Bij 6x lukt dat prima, want 6x / 2 = 3x, maar bij het getal 7 komt het er niet zo mooi uit: 7 / 2 = 3,5. We krijgen dan de uitdrukking: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Uitgewerkte voorbeelden

• Breng 25x + 45 netjes buiten haakjes. Op het eerste gezicht zie je dat we het getal 5 buiten haakjes kunnen brengen, dus we krijgen 5 · (5x + 9).

• Vereenvoudig de breuk

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Eerst brengen we in de teller van de breuk x buiten haakjes. In de teller krijgen we dan x · (3x + 7). Nu kunnen we in de hele breuk x wegdelen.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Breng −2x² − 8x netjes buiten haakjes. Hier hebben we voor het eerst negatieve getallen. Dat geeft helemaal niets, net zoals we positieve getallen buiten haakjes brachten, kunnen we negatieve buiten haakjes brengen. We kunnen dus in één keer −2x buiten haakjes brengen. We krijgen

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$