Radyan Cinsinden Açı Ölçüsü

Radyan — tıpkı derece gibi — açıların ölçüsünü ölçmek için kullanılan bir birimdir. Birim çember üzerinde tanımlanır ve büyüklüğü, uzunluğu çemberin yarıçapına eşit olan yaya ait merkez açının ölçüsüne karşılık gelir.

Tanım

Radyan cinsinden ölçüyü tanımlamak için birim çembere ihtiyacımız olacak. Bu çember üzerinde A ve B adlı iki noktayı, oluşturdukları yayın uzunluğu bir olacak şekilde, yani yayın uzunluğu bu çemberin yarıçapına eşit olacak şekilde işaretleriz. Çemberin merkezini O noktasıyla gösterirsek AOB açısının ölçüsü tam olarak bir radyandır.

AO doğru parçası çemberin yarıçapını temsil eder, kırmızıyla boyanmıştır. Aynı uzunlukta olması gereken ikinci kırmızı çizgi ise AB yayıdır. Önemli olan, A ve B noktaları arasındaki uzaklığın bizi doğrudan ilgilendirmemesidir, yani AB doğru parçası bizi ilgilendirmiyor; gerçekten ilgilendiğimiz bu yayın uzunluğudur.

Radyanın derece cinsinden değeri nedir? Yaklaşık 57° 17′ 45′′. Tam değeri hesaplayamayız. O zaman soru, böyle bir birimin ne işe yaradığıdır.

Radyanlarla Pratik Hesap

İlk olarak, bütün çemberin kaç radyana, yani 360 dereceye kaç radyanın karşılık geldiği sorusunu yanıtlayalım. Bir radyanda yayın uzunluğunun tam olarak çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz. Bütün çembere bu yaylardan kaç tane dizebiliriz? Bütün çemberin uzunluğu (yani çevresi) tam olarak

$$\text{Ç}=2\pi r.$$

Yayımızın uzunluğu r olduğundan, yayın çembere kaç kez sığdığını bulmak için çevre / yarıçap işlemini yapmalıyız; bunun sonucu:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Yani bütün çembere 2π tane böyle yay yerleştirebiliriz. Bu zaten oldukça güzel bir sayı. Şöyle yazabiliriz:

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{ve}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Çoğu zaman rad birimini yazmayıp doğrudan, örneğin 2π büyüklüğünde bir açıdan söz ederiz.

Aşağıdaki şekilde bir radyan büyüklüğünde üç açı gösterilmiştir: alfa, beta ve gama açıları. Bu açıların ölçülerinin toplamının neredeyse 180 derece olduğunu görüyorsun. Ama 180 dereceye π radyan gerekir ve π’nin yaklaşık değeri 3,1415… olduğundan orada hâlâ küçük bir parça eksik.

Dereceden Radyana ve Tersine Dönüşüm

Trigonometrik fonksiyonları hesaplayan cihazların ve programların çoğu varsayılan olarak radyanla çalışır. Açın derece cinsinden verilmişse bu biraz sorun olur. İki seçeneğin var: mümkünse cihazı derece ile hesaplayacak şekilde değiştirmek ya da dereceyi radyana çevirmek.

Örneğin Google arama motorunun içinde entegre bir hesap makinesi vardır, dolayısıyla orada mesela sinüs fonksiyonunun değerini hesaplayabilirsin. Ama varsayılan olarak tam da radyanla çalışır; bu yüzden sin(30) hesaplamaya çalıştığımızda doğru sonuç olan 0,5’i alamayız, çünkü Google bunu otuz derece olarak değil otuz radyan olarak anlamıştır. Ancak sayının arkasına “degrees” kelimesini (İngilizcede “derece” demek) eklersek doğru hesaplar: sin(30 degrees). Hesap makinelerinin çoğunda da tam iki mod vardır, biri derece, diğeri radyan ile çalışır. Genellikle rad ve deg yazan bir tuşun altında bulunur. Rad radyanın kısaltmasıdır, deg ise “degree”nin (derece).

Başka çaresi yoksa dereceyi radyana ya da tersine çevirmen gerekir. İlkiyle başlayalım: dereceden radyana dönüşüm. 180° = π rad eşitliğinin geçerli olduğunu zaten biliyoruz. Bir derecenin radyanın hangi parçasına karşılık geldiğini bilmek istiyoruz, o yüzden denklemi 180’e böleriz:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Bir derecenin kaç radyan olduğunu artık biliyoruz. Örneğin otuz derece hesaplamamız gerekiyorsa bu kesri otuzla çarparız:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

Diğer dereceler için de benzer şekilde yapılır.

Şimdi ters durum, radyandan dereceye dönüşüm. Yine 180° = π rad eşitliğinden başlarız. 2π radyanımız varsa iki kat fazla derece elde ederiz, yani 360. Tersine yalnızca yarım π radyanımız varsa derece sayısının yarısını elde ederiz — 90. Bu yüzden önce radyan cinsinden değerimizi π’ye böleriz; böylece açının 180 derecenin kaç katı olduğunu buluruz. Sonra değeri 180 ile çarparız ve açıyı derece cinsinden elde ederiz. Yani 3π/2 radyan büyüklüğünde bir açımız varsa bölme sonucunda şunu elde ederiz:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Bu sonucu 180 ile çarparız ve açıyı derece cinsinden elde ederiz: 3/2 · 180 = 270. İki radyanımız varsa şunu elde ederiz:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

Radyan ve derece cinsinden değerler arasındaki temel ilişkiyi şu formül gösterir (rad radyan cinsinden değer, deg derece cinsinden değer):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Tarihçe

Radyan kavramını muhtemelen ilk olarak Roger Cotes 1714 yılında ortaya attı. O zamanlar birimin henüz “radyan” adı yoktu, ancak diğer tanımlar ve özellikler aynıydı. “Radyan” terimi kâğıt üzerinde ilk kez 5 Haziran 1873’te James Thomson’ın bir makalesinde göründü. Birimin adı “radial” ya da yalnızca “rad” da olabilirdi. (Kaynak: Vikipedi)

Temel Dönüşüm Değerleri Tablosu

Bazı açılar oldukça sık kullanılır, bu yüzden aşağıdaki tabloda derece cinsinden değerler ve radyan karşılıkları verilmiştir:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{deg: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$