Radianer och bågmått

Radianen är — liksom graden — en enhet för att mäta vinklars storlek. Den definieras på enhetscirkeln, och dess storlek motsvarar medelpunktsvinkeln för en båge vars längd är lika med bågens radie.

Definition

För att definiera bågmått behöver vi enhetscirkeln. På den här cirkeln markerar vi två punkter A och B så att bågen mellan dem har längden ett, alltså så att bågens längd är lika stor som cirkelns radie. Om vi kallar cirkelns medelpunkt O har vinkeln AOB storleken en radian.

Sträckan AO är cirkelns radie och är färgad röd. Lika lång måste den andra röda linjen vara, bågen AB. Det viktiga är att vi inte bryr oss om avståndet mellan punkterna A och B direkt, alltså inte om sträckan AB, utan verkligen om bågens längd.

Hur stor är en radian i grader? Ungefär 57° 17′ 45′′. Det exakta värdet kan vi inte skriva ut. Frågan är då vad en sådan enhet är bra för.

Att räkna med radianer

Först besvarar vi frågan hur många radianer som motsvarar hela cirkeln, alltså hur många radianer som motsvarar 360 grader. Vi vet att bågens längd för en radian är precis cirkelns radie. Hur många sådana bågar kan vi lägga efter varandra runt hela cirkeln? Hela cirkeln har omkretsen precis

$$O=2\pi r.$$

Vår båge har längden r, så för att ta reda på hur många gånger bågen får plats på cirkeln måste vi dividera O / r, och då får vi:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Svaret är alltså att vi kan lägga 2π sådana bågar runt hela cirkeln. Det är ett ganska vackert tal. Vi kan därför skriva att

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{och}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Ofta utelämnar vi själva enheten rad och skriver helt enkelt bara till exempel att vinkeln är 2π.

I följande figur visas tre vinklar på en radian vardera, det är vinklarna alfa, beta och gamma. Du ser att summan av deras storlekar är nästan 180 grader. Men eftersom vi skulle behöva π radianer för 180 grader, och π är ungefär 3,1415…, saknas det fortfarande en liten bit.

Omvandling från grader till radianer och tvärtom

De flesta instrument och program som räknar ut trigonometriska funktioner arbetar som standard med radianer. Det är lite av ett problem om du har en vinkel angiven i grader. Du har två möjligheter: om det går, ställ om instrumentet så att det räknar i grader, eller omvandla graderna till radianer.

Till exempel har söktjänsten Google en inbyggd räknare, så där kan du räkna ut till exempel värdet av sinusfunktionen. Som standard arbetar den dock med radianer, så när vi försöker räkna ut sin(30) får vi inte det rätta resultatet 0,5, eftersom Google inte tolkade det som trettio grader utan som trettio radianer. Men om vi lägger till ordet ”degrees” (engelska för ”grader”) efter talet räknar den rätt: sin(30 degrees). De flesta räknare har just två lägen, ett som räknar i grader och ett i radianer. Vanligtvis väljer man läge med en knapp märkt rad och deg. Rad är en förkortning för radian, deg står för degree.

Om det inte finns något annat sätt måste du omvandla grader till radianer eller tvärtom. Vi börjar med det första: omvandling från grader till radianer. Vi vet redan att likheten 180° = π rad gäller. Vi vill veta vilken del av en radian en grad motsvarar, så vi dividerar ekvationen med 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Nu vet vi hur många radianer en grad är. Om vi till exempel behöver räkna ut trettio grader multiplicerar vi det här bråket med trettio:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

På samma sätt gör du med andra gradtal.

Nu det omvända fallet, omvandling från radianer till grader. Återigen utgår vi från likheten 180° = π rad. Om vi har 2π radianer får vi dubbelt så många grader, alltså 360. Om vi däremot har bara en halv π radianer får vi hälften så många grader — 90. Först dividerar vi alltså vårt värde i radianer med talet π, och då får vi veta vilken multipel av 180 grader vinkeln utgör. Sedan multiplicerar vi värdet med just 180 och har vinkeln i grader. Så om vi har en vinkel på 3π/2 radianer får vi efter divisionen:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Det här resultatet multiplicerar vi med 180 och har vinkeln i grader: 3/2 · 180 = 270. Om vi har två radianer får vi:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

Det grundläggande sambandet mellan värdet i radianer och i grader visas av den här formeln (rad är värdet i radianer, deg värdet i grader):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Historia

Begreppet radian skapades troligen först av Roger Cotes år 1714. Då hette hans enhet ännu inte ”radian”, men i övrigt var definitionerna och egenskaperna identiska. Termen ”radian” dök för första gången upp i tryck den 5 juni 1873 i en artikel av James Thomson. Enheten kunde också ha hetat ”radial” eller bara ”rad”. (Källa: Wikipedia)

Tabell över de vanligaste omvandlingarna

Vissa vinklar används ganska ofta, så följande tabell anger värdena i grader och motsvarande värden i radianer:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{deg: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$