Kulman kaarimitta

Radiaani on — samoin kuin aste — kulman suuruuden mittayksikkö. Se määritellään yksikköympyrällä, ja sen suuruus vastaa sellaisen ympyränkaaren keskuskulmaa, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde.

Määritelmä

Kaarimitan määrittelemiseen tarvitsemme yksikköympyrän. Merkitsemme tälle ympyrälle kaksi pistettä A ja B niin, että niiden välisen kaaren pituus on yksi eli kaari on yhtä pitkä kuin ympyrän säde. Jos merkitsemme ympyrän keskipisteen pisteeksi O, kulman AOB suuruus on täsmälleen yksi radiaani.

Jana AO on ympyrän säde, ja se on väritetty punaiseksi. Yhtä pitkä on oltava myös toinen punainen viiva, kaari AB. Tärkeää on, että emme tarkoita pisteiden A ja B etäisyyttä suoraan, eli jana AB ei kiinnosta meitä, vaan nimenomaan tämän kaaren pituus.

Mikä on radiaanin arvo asteina? Noin 57° 17′ 45′′. Tarkkaa arvoa emme pysty ilmoittamaan. Kysymys onkin, mihin tällaista yksikköä tarvitaan.

Radiaaneilla laskeminen käytännössä

Vastataan ensin kysymykseen, kuinka monta radiaania vastaa koko ympyrää eli kuinka monta radiaania vastaa 360 astetta. Tiedämme, että radiaanin kaaren pituus on täsmälleen ympyrän säde. Montako tällaista kaarta mahtuu koko ympyrän ympäri? Koko ympyrän pituus (eli ympärysmitta) on täsmälleen

$$p=2\pi r.$$

Kaarimme pituus on r, joten saadaksemme selville, montako kertaa kaari mahtuu ympyrälle, meidän on jaettava ympärysmitta säteellä eli p / r, jolloin saamme:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Vastaus on siis, että tällaisia kaaria mahtuu koko ympyrälle 2π kappaletta. Se on jo melko mukava luku. Voimme siis kirjoittaa, että

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{ja}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Usein jätämme yksikön rad myös kokonaan pois ja kirjoitamme yksinkertaisesti vain esimerkiksi kulma 2π.

Seuraavassa kuvassa on esitetty kolme yhden radiaanin suuruista kulmaa: kulmat alfa, beeta ja gamma. Näet, että niiden suuruuksien summa on lähes 180 astetta. Koska 180 asteeseen tarvittaisiin kuitenkin π radiaania ja π on likimain 3,1415…, jäljelle jää vielä pieni pala.

Muuntaminen asteista radiaaneiksi ja päinvastoin

Useimmat laitteet ja ohjelmat, jotka laskevat trigonometrisia funktioita, käyttävät oletuksena radiaaneja. Se on pieni ongelma, jos kulma on annettu asteina. Vaihtoehtoja on kaksi: jos mahdollista, vaihda laite laskemaan asteilla, tai muunna asteet radiaaneiksi.

Esimerkiksi Google-hakukoneessa on sisäänrakennettu laskin, jolla voi laskea vaikkapa sinin arvon. Oletuksena se kuitenkin käyttää nimenomaan radiaaneja, joten jos yritämme laskea sin(30), emme saa oikeaa tulosta 0,5, koska Google ei ymmärtänyt sitä kolmeksikymmeneksi asteeksi vaan kolmeksikymmeneksi radiaaniksi. Jos kuitenkin lisäämme luvun perään sanan ”degrees” (englanniksi ”aste”), se laskee jo oikein: sin(30 degrees). Useimmissa laskimissa on juuri kaksi tilaa, toinen laskee asteilla ja toinen radiaaneilla. Yleensä ne valitaan jollakin painikkeella, jossa lukee rad ja deg. Rad on lyhenne sanasta radiaani ja deg sanasta degree.

Jos ei voi muuta, asteet on muunnettava radiaaneiksi tai päinvastoin. Aloitamme ensimmäisestä: muuntaminen asteista radiaaneiksi. Tiedämme jo, että 180° = π rad. Haluaisimme tietää, minkä osan radiaanista yksi aste vastaa, joten jaamme yhtälön luvulla 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Tiedämme nyt, montako radiaania yksi aste on. Jos tarvitsemme esimerkiksi kolmekymmentä astetta, kerromme tämän murtoluvun kolmellakymmenellä:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

Samoin muille asteille.

Nyt päinvastainen tapaus, muuntaminen radiaaneista asteiksi. Lähdemme taas yhtälöstä 180° = π rad. Jos meillä on 2π radiaania, saamme kaksi kertaa niin monta astetta eli 360. Jos taas meillä on vain puoli π radiaania, saamme puolet asteista eli 90. Jaamme siis ensin arvomme radiaaneina luvulla π, jolloin saamme selville, kuinka monta kertaa 180 astetta kulma on. Sitten kerromme arvon luvulla 180, ja kulma on asteina. Jos siis kulma on 3π/2 radiaania, jaon jälkeen saamme:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Kerromme tuloksen luvulla 180, ja kulma on asteina: 3/2 · 180 = 270. Jos meillä on kaksi radiaania, saamme:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

Radiaanien ja asteiden perussuhteen esittää tämä kaava (rad on arvo radiaaneina ja deg arvo asteina):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Historia

Radiaanin käsitteen keksi todennäköisesti ensimmäisenä Roger Cotes vuonna 1714. Silloin hänen yksikölläänkään ei vielä ollut nimeä ”radiaani”, mutta muut määritelmät ja ominaisuudet olivat samat. Termi ”radiaani” ilmestyi ensi kerran painettuna 5. kesäkuuta 1873 James Thomsonin artikkelissa. Yksikön nimi olisi voinut vielä olla ”radial” tai vain ”rad”. (Lähde: wiki)

Perusmuunnosten taulukko

Joitakin kulmia käytetään melko usein, joten seuraavassa taulukossa on niiden arvot asteina ja vastaavat arvot radiaaneina:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{deg: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$