Medida de un ángulo en radianes

El radián es —igual que el grado— una unidad para medir la amplitud de los ángulos. Se define en la circunferencia goniométrica y su tamaño corresponde al ángulo central de un arco cuya longitud es igual al radio de dicho arco.

Definición

Para definir la medida en radianes necesitaremos la circunferencia goniométrica. En esta circunferencia marcamos dos puntos A y B de modo que el arco que forman tenga longitud uno, es decir, que la longitud del arco sea igual al radio de la circunferencia. Si llamamos O al centro de la circunferencia, el ángulo AOB mide exactamente un radián.

El segmento AO representa el radio de la circunferencia y está coloreado de rojo. La otra línea roja, el arco AB, debe tener la misma longitud. Lo importante es que no nos interesa la distancia entre los puntos A y B en línea recta, es decir, no nos interesa el segmento AB, sino realmente la longitud de este arco.

¿Cuál es el valor de un radián en grados? Aproximadamente 57° 17′ 45′′. El valor exacto no podemos expresarlo. La pregunta es entonces para qué sirve una unidad así.

Cálculo práctico con radianes

Primero responderemos a la pregunta de cuántos radianes corresponden a la circunferencia entera, es decir, cuántos radianes corresponden a 360 grados. Sabemos que la longitud del arco de un radián es justo el radio de la circunferencia. ¿Cuántos arcos así somos capaces de colocar en la circunferencia entera? La circunferencia entera tiene una longitud exactamente de

$$L=2\pi r.$$

Nuestro arco tiene longitud r, así que, para saber cuántas veces cabe el arco en la circunferencia, tenemos que dividir longitud / radio, con lo que obtenemos:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

La respuesta es, pues, que en la circunferencia entera podemos colocar 2π arcos así. Es un número bastante bonito. Podemos escribir, por tanto, que

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{y}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

A menudo omitimos también la propia unidad rad y escribimos simplemente un ángulo de amplitud, por ejemplo, 2π.

En la siguiente figura se muestran tres ángulos de un radián cada uno: son los ángulos alfa, beta y gamma. Ves que la suma de sus amplitudes es casi de 180 grados. Pero como para 180 grados necesitaríamos π radianes y π vale aproximadamente 3,1415…, todavía nos falta un poquito.

Paso de grados a radianes y viceversa

La mayoría de los aparatos y programas que calculan funciones trigonométricas trabajan por defecto en radianes. Esto es un pequeño problema si tienes el ángulo dado en grados. Tienes dos opciones: si se puede, cambiar el aparato para que calcule en grados, o convertir los grados en radianes.

Por ejemplo, el buscador de internet Google lleva integrada una calculadora, así que allí puedes calcular, por ejemplo, el valor de la función seno. Pero por defecto trabaja justamente con radianes, así que, si intentamos calcular sen(30), no obtenemos el resultado correcto 0,5, porque Google no lo ha entendido como treinta grados, sino como treinta radianes. Sin embargo, si añadimos al número la palabra «degrees» (que en inglés significa «grados»), ya lo calcula bien: sen(30 degrees). La mayoría de las calculadoras tienen justamente dos modos: uno trabaja en grados y el otro en radianes. Normalmente se cambia con alguna tecla marcada como rad y deg. Rad es la abreviatura de radián y deg es justamente «degree», grado.

Si no hay más remedio, tienes que convertir grados en radianes o al revés. Empezamos por lo primero: paso de grados a radianes. Ya sabemos que se cumple la igualdad 180° = π rad. Nos gustaría saber a qué parte de un radián corresponde un grado, así que dividimos la igualdad entre 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Ya sabemos cuántos radianes es un grado. Si necesitamos calcular, por ejemplo, treinta grados, multiplicamos esta fracción por treinta:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

De forma parecida para otros grados.

Veamos ahora el caso contrario, el paso de radianes a grados. Partimos otra vez de la igualdad 180° = π rad. Si tenemos 2π radianes, obtenemos el doble de grados, es decir, 360. Si, en cambio, tenemos solo medio π radianes, obtenemos la mitad de grados: 90. Primero dividimos, pues, nuestro valor en radianes entre el número π, con lo que averiguamos qué múltiplo de 180 grados representa el ángulo. Después multiplicamos el valor justamente por 180 y tenemos el ángulo en grados. Así, si tenemos un ángulo de 3π/2 radianes, al dividir obtenemos:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Multiplicamos este resultado por 180 y tenemos el ángulo en grados: 3/2 · 180 = 270. Si tenemos dos radianes, obtenemos:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

La relación básica entre el valor en radianes y en grados la muestra esta fórmula (rad es el valor en radianes y grados, el valor en grados):

$$grados=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Historia

El concepto de radián lo creó probablemente por primera vez Roger Cotes en 1714. Entonces su unidad aún no tenía el nombre de «radián», pero las demás definiciones y propiedades eran idénticas. El término «radián» apareció por primera vez por escrito el 5 de junio de 1873 en un artículo de James Thomson. La unidad podría haberse llamado también «radial» o solo «rad». (Fuente: Wikipedia)

Tabla de equivalencias básicas

Algunos ángulos se usan con bastante frecuencia, así que la siguiente tabla recoge los valores en grados y su equivalente en radianes:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{grados: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$