Radialen
De radiaal is — net als de graad — een eenheid om de grootte van hoeken te meten. Hij wordt gedefinieerd op de eenheidscirkel en zijn grootte is gelijk aan de middelpuntshoek van een boog waarvan de lengte gelijk is aan de straal van die cirkel.
Definitie
Om de maat in radialen te definiëren hebben we de eenheidscirkel nodig. Op deze cirkel zetten we twee punten A en B uit, zo dat de boog die ze vormen lengte één heeft, dus dat de lengte van de boog even groot is als de straal van de cirkel. Als we het middelpunt van de cirkel punt M noemen, dan is hoek AMB precies één radiaal groot.
Lijnstuk AM is de straal van de cirkel en is rood gekleurd. Even lang moet ook de andere rode lijn zijn, de boog AB. Belangrijk is dat het ons niet om de afstand van de punten A en B zelf gaat, dus lijnstuk AB interesseert ons niet, maar echt om de lengte van deze boog.
Hoeveel graden is een radiaal? Ongeveer 57° 17′ 45′′. De exacte waarde kunnen we niet uitrekenen. De vraag is dan waar zo'n eenheid goed voor is.
Praktisch rekenen met radialen
Eerst beantwoorden we de vraag hoeveel radialen er in een hele cirkel gaan, dus hoeveel radialen overeenkomen met 360 graden. We weten dat de lengte van de boog bij een radiaal precies de straal van de cirkel is. Hoeveel van zulke bogen passen er in een hele cirkel? De hele cirkel heeft een lengte (dus een omtrek) van precies
Onze boog heeft lengte r, dus om te weten hoe vaak de boog in de cirkel past, moeten we omtrek / straal delen, en dat geeft:
Het antwoord is dus dat we 2π van zulke bogen op de hele cirkel kunnen uitzetten. Dat is al een mooi getal. We kunnen dus schrijven dat
Vaak laten we de eenheid rad zelf ook weg en schrijven we gewoon een hoek met bijvoorbeeld grootte 2π.
In de volgende afbeelding zie je drie hoeken met een grootte van één radiaal, het zijn de hoeken alfa, bèta en gamma. Je ziet dat de som van hun groottes bijna 180 graden is. Omdat we voor 180 graden π radialen nodig hebben en π ongeveer gelijk is aan 3,1415…, ontbreekt er nog een stukje.
Omzetten van graden naar radialen en andersom
De meeste apparaten en programma's die goniometrische functies berekenen, rekenen standaard met radialen. Dat is een beetje een probleem als je een hoek in graden hebt gekregen. Je hebt twee mogelijkheden: als het kan, het apparaat omschakelen zodat het in graden rekent, of de graden omzetten naar radialen.
De internetzoekmachine Google heeft bijvoorbeeld een ingebouwde rekenmachine, dus daar kun je bijvoorbeeld de waarde van de sinusfunctie uitrekenen. Standaard rekent die echter met radialen, dus als we sin(30) proberen uit te rekenen, krijgen we niet het juiste resultaat 0,5, want Google begreep dat niet als dertig graden, maar als dertig radialen. Als we achter het getal echter het woord “degrees” zetten (Engels voor “graden”), rekent het wel goed: sin(30 degrees). De meeste rekenmachines hebben twee standen, één die in graden rekent en één die in radialen. Meestal zit dat onder een knop met de tekst rad en deg. Rad is een afkorting van radiaal, deg staat voor degree, graad.
Als het niet anders kan, moet je graden omzetten naar radialen of andersom. We beginnen met het eerste: omzetten van graden naar radialen. We weten al dat 180° = π rad. We willen graag weten welk deel van een radiaal één graad is, dus delen we de vergelijking door 180:
Nu weten we hoeveel radialen één graad is. Als we bijvoorbeeld dertig graden willen berekenen, vermenigvuldigen we deze breuk met dertig:
Voor andere aantallen graden gaat het op dezelfde manier.
Nu het omgekeerde geval, omzetten van radialen naar graden. We gaan weer uit van 180° = π rad. Als we 2π radialen hebben, krijgen we twee keer zoveel graden, dus 360. Als we daarentegen maar een half keer π radialen hebben, krijgen we de helft van het aantal graden — 90. We delen onze waarde in radialen dus eerst door het getal π, waardoor we weten welk veelvoud van 180 graden de hoek is. Daarna vermenigvuldigen we de waarde met 180 en we hebben de hoek in graden. Als we dus een hoek van 3π/2 radialen hebben, krijgen we na het delen:
Dit resultaat vermenigvuldigen we met 180 en we hebben de hoek in graden: 3/2 · 180 = 270. Als we twee radialen hebben, krijgen we:
Het basisverband tussen de waarde in radialen en in graden wordt weergegeven door deze formule (rad is de waarde in radialen, deg de waarde in graden):
Geschiedenis
Het begrip radiaal is waarschijnlijk als eerste bedacht door Roger Cotes in 1714. Zijn eenheid had toen nog niet de naam “radiaal”, maar de rest van de definitie en de eigenschappen waren hetzelfde. De (Engelse) term “radian” verscheen voor het eerst op papier op 5 juni 1873 in een artikel van James Thomson. De eenheid had ook “radial” of gewoon “rad” kunnen heten. (Bron: Wikipedia)
Tabel met de belangrijkste omrekeningen
Sommige hoeken worden vrij vaak gebruikt, dus de volgende tabel geeft de waarden in graden en hun equivalent in radialen:
Hoofdstukken: Hoek, Hoe construeer je de bissectrice van een hoek, Een hoek overbrengen, Radialen, Georiënteerde hoek, Som van de hoeken van een veelhoek, Stijging omrekenen naar een hoek
