Medida de ângulos em radianos

O radiano é — assim como o grau — uma unidade para medir ângulos. Ele é definido na circunferência trigonométrica, e sua medida corresponde ao ângulo central de um arco cujo comprimento é igual ao raio dessa circunferência.

Definição

Para definir a medida em radianos vamos precisar da circunferência trigonométrica. Nessa circunferência marcamos dois pontos A e B de modo que o arco que eles formam tenha comprimento um, isto é, de modo que o comprimento do arco seja igual ao raio da circunferência. Se chamarmos o centro da circunferência de ponto O, então o ângulo AOB mede exatamente um radiano.

O segmento AO representa o raio da circunferência e está pintado de vermelho. O outro traço vermelho, o arco AB, precisa ter o mesmo comprimento. O importante é que não nos interessa a distância direta entre os pontos A e B, ou seja, o segmento AB não importa; o que importa mesmo é o comprimento desse arco.

Qual é o valor de um radiano em graus? Aproximadamente 57° 17′ 45′′. O valor exato não conseguimos calcular. A pergunta, então, é para que serve uma unidade assim.

Cálculo na prática com radianos

Primeiro vamos responder quantos radianos correspondem à circunferência inteira, isto é, quantos radianos correspondem a 360 graus. Sabemos que o comprimento do arco de um radiano é exatamente o raio da circunferência. Quantos desses arcos conseguimos colocar na circunferência inteira? A circunferência inteira tem comprimento exatamente

$$C=2\pi r.$$

Nosso arco tem comprimento r; portanto, para saber quantas vezes o arco cabe na circunferência, precisamos dividir comprimento / raio, o que nos dá:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

A resposta é que conseguimos colocar 2π desses arcos na circunferência inteira. Esse já é um número bem bonito. Podemos escrever, então, que

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{e}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Muitas vezes também omitimos a própria unidade rad e escrevemos simplesmente um ângulo de medida, por exemplo, 2π.

Na figura a seguir aparecem três ângulos de um radiano cada: são os ângulos alfa, beta e gama. Você vê que a soma de suas medidas é quase 180 graus. Mas, como para 180 graus precisaríamos de π radianos, e π vale aproximadamente 3,1415…, ainda falta um pedacinho.

Conversão de graus para radianos e vice-versa

A maioria dos aparelhos e programas que calculam funções trigonométricas trabalha por padrão com radianos. Isso é um pouco problemático se o seu ângulo foi dado em graus. Você tem duas opções: se for possível, mudar o aparelho para calcular em graus, ou converter os graus em radianos.

Por exemplo, o buscador Google tem uma calculadora integrada, então dá para calcular ali, por exemplo, o valor da função seno. Mas, por padrão, ele trabalha justamente com radianos; por isso, se tentarmos calcular sen(30), não obtemos o resultado correto 0,5, porque o Google não entendeu como trinta graus, e sim como trinta radianos. No entanto, se depois do número acrescentarmos a palavra “degrees” (que em inglês quer dizer “graus”), ele já calcula corretamente: sen(30 degrees). A maioria das calculadoras tem justamente dois modos, um que trabalha em graus e outro em radianos. Em geral há uma tecla com as indicações rad e deg. Rad é a abreviação de radiano; deg vem de degree, “grau” em inglês.

Se não houver jeito, você precisa converter graus em radianos ou o contrário. Começamos pelo primeiro caso: conversão de graus para radianos. Já sabemos que vale a igualdade 180° = π rad. Gostaríamos de saber a que parte de um radiano corresponde um grau, então dividimos a equação por 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Já sabemos quantos radianos vale um grau. Se precisarmos calcular, por exemplo, trinta graus, multiplicamos essa fração por trinta:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

O mesmo vale para os outros graus.

Agora o caso inverso, a conversão de radianos para graus. Partimos de novo da igualdade 180° = π rad. Se temos 2π radianos, obtemos o dobro de graus, ou seja, 360. Se, ao contrário, temos apenas metade de π radianos, obtemos metade dos graus — 90. Assim, primeiro dividimos o nosso valor em radianos pelo número π, o que mostra qual múltiplo de 180 graus o ângulo representa. Depois multiplicamos o valor por 180 e temos o ângulo em graus. Então, se temos um ângulo de 3π/2 radianos, depois da divisão obtemos:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Multiplicamos esse resultado por 180 e temos o ângulo em graus: 3/2 · 180 = 270. Se temos dois radianos, obtemos:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

A relação básica entre o valor em radianos e em graus é representada por esta fórmula (rad é o valor em radianos, graus o valor em graus):

$$graus=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

História

O conceito de radiano foi provavelmente criado por Roger Cotes, em 1714. Naquela época sua unidade ainda não tinha o nome “radiano”, mas as demais definições e propriedades eram idênticas. O termo “radiano” apareceu pela primeira vez no papel em 5 de junho de 1873, em um artigo de James Thomson. A unidade ainda poderia ter se chamado “radial” ou apenas “rad”. (Fonte: Wikipédia)

Tabela das relações básicas de conversão

Alguns ângulos são usados com bastante frequência, então a tabela a seguir traz os valores em graus e seus equivalentes em radianos:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{graus: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$