Misura in radianti di un angolo

Il radiante è – come il grado – un’unità per misurare l’ampiezza degli angoli. Si definisce sulla circonferenza goniometrica e la sua ampiezza corrisponde all’angolo al centro di un arco la cui lunghezza è uguale al raggio.

Definizione

Per definire la misura in radianti ci servirà la circonferenza goniometrica. Su questa circonferenza segniamo due punti A e B in modo che l’arco che formano abbia lunghezza uno, cioè che la lunghezza dell’arco sia uguale al raggio della circonferenza. Se indichiamo il centro della circonferenza con il punto O, l’angolo AOB ha ampiezza esattamente un radiante.

Il segmento AO è il raggio della circonferenza, ed è colorato di rosso. Deve avere la stessa lunghezza anche l’altra linea rossa, l’arco AB. L’importante è che non ci interessa la distanza tra i punti A e B in linea retta, cioè non ci interessa il segmento AB, ma proprio la lunghezza di questo arco.

Quanto vale un radiante in gradi? Circa 57° 17′ 45′′. Il valore esatto non siamo in grado di calcolarlo. La domanda è allora a che cosa serva una simile unità.

Calcolo pratico con i radianti

Come prima cosa rispondiamo alla domanda: a quanti radianti corrisponde l’intera circonferenza, cioè a quanti radianti corrispondono 360 gradi? Sappiamo che la lunghezza dell’arco di un radiante è proprio il raggio della circonferenza. Quanti archi così riusciamo a mettere in fila sull’intera circonferenza? L’intera circonferenza ha lunghezza esattamente

$$C=2\pi r.$$

Il nostro arco è lungo r, quindi, per scoprire quante volte l’arco sta nella circonferenza, dobbiamo dividere lunghezza della circonferenza / raggio, ottenendo:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

La risposta è dunque che sull’intera circonferenza riusciamo a riportare 2π archi così. È già un numero piuttosto bello. Possiamo quindi scrivere che

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{e}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Spesso omettiamo anche l’unità rad e scriviamo semplicemente, ad esempio, un angolo di ampiezza 2π.

Nella figura seguente sono rappresentati tre angoli di ampiezza un radiante, sono gli angoli alfa, beta e gamma. Come vedi, la somma delle loro ampiezze è quasi 180 gradi. Ma poiché per 180 gradi ci servirebbero π radianti e π vale approssimativamente 3,1415…, ne manca ancora un pezzettino.

Passaggio dai gradi ai radianti e viceversa

La maggior parte degli strumenti e dei programmi che calcolano le funzioni goniometriche lavora per impostazione predefinita in radianti. Questo è un po’ un problema se hai l’angolo dato in gradi. Hai due possibilità: se si può, impostare lo strumento in modo che calcoli in gradi, oppure convertire i gradi in radianti.

Ad esempio il motore di ricerca Google ha una calcolatrice integrata, quindi lì puoi calcolare, ad esempio, il valore della funzione seno. Per impostazione predefinita, però, lavora proprio in radianti, quindi quando proviamo a calcolare sen(30), non otteniamo il risultato corretto 0,5, perché Google non l’ha inteso come trenta gradi, ma come trenta radianti. Tuttavia, se dopo il numero aggiungiamo la parola «degrees» (che in inglese significa «grado»), allora calcola correttamente: sen(30 degrees). La maggior parte delle calcolatrici ha poi proprio due modalità, una lavora in gradi e l’altra in radianti. Di solito si cambia con un tasto con la scritta rad e deg. Rad è l’abbreviazione di radiante, deg è proprio degree.

Se non se ne può fare a meno, devi convertire i gradi in radianti o viceversa. Cominciamo dal primo caso: passaggio dai gradi ai radianti. Sappiamo già che vale l’uguaglianza 180° = π rad. Vorremmo sapere a quale parte di radiante corrisponde un grado, quindi dividiamo l’equazione per 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Sappiamo già quanti radianti sono un grado. Se dobbiamo calcolare, ad esempio, trenta gradi, moltiplichiamo questa frazione per trenta:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

Allo stesso modo per gli altri gradi.

Ora il caso opposto, passaggio dai radianti ai gradi. Partiamo di nuovo dall’uguaglianza 180° = π rad. Se abbiamo 2π radianti, otteniamo il doppio dei gradi, cioè 360. Se invece abbiamo solo mezzo π radianti, otteniamo la metà dei gradi, cioè 90. Come prima cosa dividiamo dunque il nostro valore in radianti per il numero π, scoprendo a quale multiplo di 180 gradi corrisponde l’angolo. Poi moltiplichiamo il valore proprio per 180 e abbiamo l’angolo in gradi. Quindi, se abbiamo un angolo di ampiezza 3π/2 radianti, dopo la divisione otteniamo:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Moltiplichiamo questo risultato per 180 e abbiamo l’angolo in gradi: 3/2 · 180 = 270. Se abbiamo due radianti, otteniamo:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

La relazione fondamentale tra il valore in radianti e in gradi è rappresentata da questa formula (rad è il valore in radianti, deg il valore in gradi):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Storia

Il concetto di radiante fu probabilmente ideato per primo da Roger Cotes nel 1714. Allora la sua unità non aveva ancora il nome «radiante», ma le altre definizioni e proprietà erano identiche. Il termine «radiante» comparve per la prima volta su carta il 5 giugno 1873 in un articolo di James Thomson. L’unità poteva ancora chiamarsi «radial» o solo «rad». (Fonte: Wikipedia)

Tabella delle relazioni di conversione fondamentali

Alcuni angoli si usano abbastanza spesso, quindi la tabella seguente riporta i valori in gradi e il loro equivalente in radianti:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{gradi: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$