Bogenmaß eines Winkels

Der Radiant ist – ähnlich wie der Grad – eine Einheit zum Messen der Größe von Winkeln. Er wird am Einheitskreis definiert, und seine Größe entspricht dem Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens, dessen Länge gleich dem Radius ist.

Definition

Um das Bogenmaß zu definieren, brauchen wir den Einheitskreis. Auf diesem Kreis tragen wir zwei Punkte A und B so ab, dass der Bogen zwischen ihnen die Länge eins hat, d. h., dass die Länge des Bogens genauso groß ist wie der Radius dieses Kreises. Bezeichnen wir den Mittelpunkt des Kreises mit M, dann hat der Winkel AMB die Größe genau ein Radiant.

Die Strecke AM stellt den Radius des Kreises dar und ist rot eingefärbt. Genauso lang muss auch die zweite rote Linie sein, der Bogen AB. Wichtig ist, dass es uns nicht um den Abstand der Punkte A und B geht, d. h., die Strecke AB interessiert uns nicht, sondern wirklich die Länge dieses Bogens.

Welchen Wert hat ein Radiant in Grad? Ungefähr 57° 17′ 45′′. Den genauen Wert können wir nicht angeben. Die Frage ist dann, wozu eine solche Einheit überhaupt gut ist.

Praktisches Rechnen mit Radiant

Zuerst beantworten wir die Frage, wie vielen Radiant der ganze Kreis entspricht, d. h., wie vielen Radiant 360 Grad entsprechen. Wir wissen, dass die Länge des Bogens beim Radiant genau der Radius des Kreises ist. Wie viele solcher Bögen passen auf den ganzen Kreis? Der ganze Kreis hat den Umfang genau

$$U=2\pi r.$$

Unser Bogen hat die Länge r. Um herauszufinden, wie oft der Bogen auf den Kreis passt, müssen wir also Umfang / Radius berechnen, und wir erhalten:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Die Antwort lautet also, dass wir auf den ganzen Kreis 2π solcher Bögen abtragen können. Das ist schon eine ziemlich schöne Zahl. Wir können also schreiben:

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{und}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Oft lassen wir die Einheit rad selbst weg und schreiben einfach nur einen Winkel der Größe zum Beispiel 2π.

Auf dem folgenden Bild sind drei Winkel der Größe ein Radiant zu sehen, es sind die Winkel Alpha, Beta und Gamma. Du siehst, dass die Summe ihrer Größen fast 180 Grad beträgt. Weil wir für 180 Grad aber π Radiant bräuchten und π ungefähr den Wert 3,1415… hat, fehlt uns dort noch ein kleines Stück.

Umrechnung von Grad in Radiant und umgekehrt

Die meisten Geräte und Programme, die Winkelfunktionen berechnen, arbeiten standardmäßig mit Radiant. Das ist ein kleines Problem, wenn du den Winkel in Grad gegeben hast. Du hast zwei Möglichkeiten: Wenn es geht, schaltest du das Gerät so um, dass es in Grad rechnet, oder du rechnest Grad in Radiant um.

Die Internet-Suchmaschine Google hat zum Beispiel einen Taschenrechner eingebaut, sodass du dort etwa den Wert der Sinusfunktion berechnen kannst. Standardmäßig arbeitet sie aber mit Radiant. Wenn wir also versuchen, sin(30) zu berechnen, erhalten wir nicht das richtige Ergebnis 0,5, weil Google das nicht als dreißig Grad, sondern als dreißig Radiant verstanden hat. Wenn wir aber hinter die Zahl das Wort „degrees“ (englisch für „Grad“) setzen, rechnet es richtig: sin(30 degrees). Die meisten Taschenrechner haben zwei Modi, einen für Grad und einen für Radiant. Gewöhnlich wird er mit einer Taste mit der Aufschrift rad und deg umgeschaltet. Rad ist die Abkürzung für Radiant, deg steht für degree.

Wenn es nicht anders geht, musst du Grad in Radiant umrechnen oder umgekehrt. Wir beginnen mit dem Ersten: Umrechnung von Grad in Radiant. Wir wissen schon, dass die Gleichung 180° = π rad gilt. Wir möchten wissen, welchem Teil eines Radiants ein Grad entspricht, also dividieren wir die Gleichung durch 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Wir wissen jetzt, wie viele Radiant ein Grad sind. Wenn wir zum Beispiel dreißig Grad umrechnen wollen, multiplizieren wir diesen Bruch mit dreißig:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

Für andere Gradzahlen geht es ähnlich.

Nun der umgekehrte Fall, Umrechnung von Radiant in Grad. Wir gehen wieder von der Gleichung 180° = π rad aus. Haben wir 2π Radiant, erhalten wir doppelt so viele Grad, also 360. Haben wir dagegen nur ein halbes π Radiant, erhalten wir die halbe Gradzahl – 90. Zuerst dividieren wir also unseren Wert in Radiant durch die Zahl π und finden so heraus, welches Vielfache von 180 Grad der Winkel darstellt. Anschließend multiplizieren wir den Wert mit 180, und wir haben den Winkel in Grad. Haben wir also einen Winkel der Größe 3π/2 Radiant, erhalten wir nach der Division:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Dieses Ergebnis multiplizieren wir mit 180, und wir haben den Winkel in Grad: 3/2 · 180 = 270. Haben wir zwei Radiant, dann erhalten wir:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

Die grundlegende Beziehung zwischen dem Wert in Radiant und in Grad gibt diese Formel wieder (rad ist der Wert in Radiant, deg der Wert in Grad):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Geschichte

Das Konzept des Radiants hat wahrscheinlich als Erster Roger Cotes im Jahr 1714 entwickelt. Seine Einheit hatte damals noch nicht den Namen „Radiant“, die übrigen Definitionen und Eigenschaften waren aber identisch. Der Begriff „Radiant“ erschien zum ersten Mal am 5. Juni 1873 in einem Artikel von James Thomson auf dem Papier. Die Einheit hätte auch „radial“ oder nur „rad“ heißen können. (Quelle: Wikipedia)

Tabelle der wichtigsten Umrechnungen

Manche Winkel werden recht häufig verwendet, deshalb enthält die folgende Tabelle Werte in Grad und ihre Entsprechung in Radiant:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{deg: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$