Radianer

Radianen er – på samme måte som grader – en enhet for å måle størrelsen på vinkler. Den er definert på enhetssirkelen, og størrelsen svarer til sentralvinkelen til en bue som er like lang som radien.

Definisjon

For å definere buemål trenger vi enhetssirkelen. På denne sirkelen avsetter vi to punkter A og B slik at buen mellom dem har lengde én, altså slik at lengden av buen er like stor som radien til sirkelen. Hvis vi kaller sentrum i sirkelen S, har vinkelen ASB størrelsen nøyaktig én radian.

Linjestykket AS er radien til sirkelen, og det er farget rødt. Den andre røde streken, buen AB, må være like lang. Det som er viktig, er at det ikke er selve avstanden mellom punktene A og B vi er opptatt av, altså er vi ikke interessert i linjestykket AB, men i lengden av denne buen.

Hvor stor er en radian i grader? Omtrent 57° 17′ 45′′. Den nøyaktige verdien kan vi ikke regne ut. Spørsmålet er så hva en slik enhet er god for.

Praktisk regning med radianer

Det første spørsmålet vi besvarer, er hvor mange radianer som svarer til hele sirkelen, altså hvor mange radianer som svarer til 360 grader. Vi vet at lengden av buen for en radian er nøyaktig radien til sirkelen. Hvor mange slike buer får vi plass til rundt hele sirkelen? Hele sirkelen har lengden (altså omkretsen)

$$O=2\pi r.$$

Buen vår har lengden r, så for å finne ut hvor mange ganger buen går opp i sirkelen, må vi dele omkrets / radius, og da får vi:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Svaret er altså at vi får plass til 2π slike buer rundt hele sirkelen. Det er et ganske pent tall. Vi kan derfor skrive at

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{og}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Ofte utelater vi også selve enheten rad og skriver bare for eksempel en vinkel på 2π.

På den følgende figuren ser du tre vinkler på én radian hver, det er vinklene alfa, beta og gamma. Du ser at summen av størrelsene deres er nesten 180 grader. Men for å få 180 grader trenger vi π radianer, og π er omtrent 3,1415…, så det mangler fortsatt litt.

Omregning fra grader til radianer og omvendt

De fleste apparater og programmer som regner ut trigonometriske funksjoner, arbeider som standard med radianer. Det er litt av et problem hvis du har fått oppgitt en vinkel i grader. Da har du to muligheter: Hvis det går an, kan du stille om apparatet slik at det regner i grader, eller du kan regne om grader til radianer.

For eksempel har søkemotoren Google en innebygd kalkulator, så der kan du for eksempel regne ut verdien av funksjonen sinus. Som standard arbeider den imidlertid med radianer, så når vi prøver å regne ut sin(30), får vi ikke det riktige resultatet 0,5, for Google forsto ikke det som tretti grader, men som tretti radianer. Men hvis vi setter ordet «degrees» (som er engelsk for «grader») etter tallet, regner den riktig: sin(30 degrees). De fleste kalkulatorer har to moduser, én som regner i grader og én som regner i radianer. Vanligvis finner du det under en knapp som er merket rad og deg. Rad er en forkortelse for radian, deg står for degree.

Hvis det ikke er noen vei utenom, må du regne om grader til radianer eller omvendt. Vi begynner med det første: omregning fra grader til radianer. Vi vet allerede at likheten 180° = π rad gjelder. Vi vil gjerne vite hvor stor del av en radian én grad er, så vi deler likningen på 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Nå vet vi hvor mange radianer én grad er. Hvis vi for eksempel skal regne ut tretti grader, multipliserer vi denne brøken med tretti:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

På samme måte gjør vi det for andre antall grader.

Nå det motsatte tilfellet, omregning fra radianer til grader. Igjen tar vi utgangspunkt i likheten 180° = π rad. Hvis vi har 2π radianer, får vi dobbelt så mange grader, altså 360. Hvis vi derimot bare har en halv π radianer, får vi halvparten så mange grader – 90. Først deler vi altså verdien vår i radianer på tallet π, og da finner vi ut hvilket multiplum av 180 grader vinkelen er. Deretter multipliserer vi verdien med 180, og så har vi vinkelen i grader. Så hvis vi har en vinkel på 3π/2 radianer, får vi etter deling:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Dette resultatet multipliserer vi med 180, og så har vi vinkelen i grader: 3/2 · 180 = 270. Hvis vi har to radianer, får vi:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

Den grunnleggende sammenhengen mellom verdien i radianer og i grader viser denne formelen (rad er verdien i radianer, deg verdien i grader):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Historie

Konseptet radian ble sannsynligvis først laget av Roger Cotes i 1714. Da hadde enheten hans ennå ikke navnet «radian», men de andre definisjonene og egenskapene var identiske. Betegnelsen «radian» dukket første gang opp på trykk 5. juni 1873 i en artikkel av James Thomson. Enheten kunne også ha fått navnet «radial» eller bare «rad». (Kilde: Wikipedia)

Tabell over de viktigste omregningene

Noen vinkler brukes ganske ofte, så følgende tabell viser verdiene i grader og tilsvarende verdier i radianer:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{deg: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$