Măsura în radiani a unghiului

Radianul este – la fel ca gradul – o unitate pentru măsurarea mărimii unghiurilor. Se definește pe cercul trigonometric, iar mărimea lui corespunde unghiului la centru care subîntinde un arc cu lungimea egală cu raza cercului.

Definiție

Pentru a defini măsura în radiani avem nevoie de cercul trigonometric. Pe acest cerc marcăm două puncte A și B astfel încât arcul pe care îl formează să aibă lungimea unu, adică lungimea arcului să fie la fel de mare ca raza cercului. Dacă notăm centrul cercului cu O, atunci unghiul AOB are măsura de exact un radian.

Segmentul AO reprezintă raza cercului și este colorat în roșu. La fel de lungă trebuie să fie și a doua linie roșie, arcul AB. Important este că nu ne interesează distanța dintre punctele A și B în linie dreaptă, adică nu ne interesează segmentul AB, ci chiar lungimea acestui arc.

Cât este valoarea radianului în grade? Aproximativ 57° 17′ 45′′. Valoarea exactă nu o putem exprima. Rămâne întrebarea la ce ne folosește o asemenea unitate.

Calculul practic cu radiani

Mai întâi răspundem la întrebarea câți radiani corespund întregului cerc, adică câți radiani corespund la 360 de grade. Știm că lungimea arcului în cazul radianului este exact raza cercului. Câte astfel de arce putem așeza pe întregul cerc? Întregul cerc are lungimea (adică perimetrul) exact

$$L=2\pi r.$$

Arcul nostru are lungimea r, așadar, ca să aflăm de câte ori încape arcul pe cerc, trebuie să împărțim L / r, obținând:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Răspunsul este deci că putem așeza pe întregul cerc 2π astfel de arce. Acesta este deja un număr destul de frumos. Putem astfel scrie că

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{și}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Adesea omitem unitatea rad și scriem pur și simplu doar un unghi cu măsura, de exemplu, 2π.

În figura următoare sunt reprezentate trei unghiuri cu măsura de un radian, sunt unghiurile alfa, beta și gama. Vezi că suma măsurilor lor este aproape 180 de grade. Dar cum pentru 180 de grade ne-ar trebui π radiani, iar π are valoarea aproximativă 3,1415…, mai lipsește totuși puțin.

Transformarea gradelor în radiani și invers

Majoritatea aparatelor și programelor care calculează funcții trigonometrice lucrează implicit cu radiani. Asta e o mică problemă dacă ai unghiul dat în grade. Ai două posibilități: dacă se poate, comuți aparatul astfel încât să calculeze în grade, sau transformi gradele în radiani.

De exemplu, motorul de căutare Google are integrat un calculator, așa că poți calcula acolo, de exemplu, valoarea funcției sinus. Implicit lucrează însă tocmai cu radiani, așa că atunci când încercăm să calculăm sin(30), nu obținem rezultatul corect 0,5, deoarece Google nu a înțeles că este vorba de treizeci de grade, ci de treizeci de radiani. Dacă însă adăugăm după număr cuvântul „degrees” (care în engleză înseamnă „grade”), calculează deja corect: sin(30 degrees). Majoritatea calculatoarelor au de obicei două moduri, unul lucrează în grade, celălalt în radiani. De obicei se comută cu o tastă cu inscripția RAD și DEG. RAD este abrevierea de la radian, DEG de la „degree”, adică grad.

Dacă nu avem încotro, trebuie să transformăm gradele în radiani sau invers. Începem cu primul caz: transformarea gradelor în radiani. Știm deja că are loc egalitatea 180° = π rad. Am vrea să știm ce parte dintr-un radian corespunde unui grad, așa că împărțim egalitatea la 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Știm deja câți radiani are un grad. Dacă vrem să calculăm, de exemplu, treizeci de grade, înmulțim această fracție cu treizeci:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

La fel și pentru alte grade.

Acum cazul invers, transformarea radianilor în grade. Pornim din nou de la egalitatea 180° = π rad. Dacă avem 2π radiani, obținem de două ori mai multe grade, adică 360. Dacă avem, dimpotrivă, doar jumătate de π radiani, obținem jumătate din numărul de grade – 90. Mai întâi împărțim deci valoarea noastră în radiani la numărul π, aflând astfel ce multiplu de 180 de grade reprezintă unghiul. Apoi înmulțim valoarea cu 180 și avem unghiul în grade. Așadar, dacă avem un unghi cu măsura de 3π/2 radiani, după împărțire obținem:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Înmulțim acest rezultat cu 180 și avem unghiul în grade: 3/2 · 180 = 270. Dacă avem doi radiani, atunci obținem:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }\approx 114,59{\dots }^{\circ }$$

Relația de bază dintre valoarea în radiani și cea în grade este redată de această formulă (α_rad este valoarea în radiani, α_grade valoarea în grade):

$${\alpha }_{\text{grade}}={\alpha }_{\text{rad}}\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Istorie

Conceptul de radian a fost creat probabil prima dată de Roger Cotes în anul 1714. La acea vreme unitatea lui nu avea încă numele „radian”, dar celelalte definiții și proprietăți erau identice. Termenul „radian” a apărut pentru prima dată în scris la 5 iunie 1873, într-un articol al lui James Thomson. Unitatea ar fi putut să se numească și „radial” sau doar „rad”. (Sursa: wiki)

Tabelul relațiilor de transformare de bază

Unele unghiuri se folosesc destul de des, așa că tabelul următor indică valorile în grade și echivalentul lor în radiani:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{grade: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$