Mesure d’un angle en radians

Le radian est – comme le degré – une unité de mesure des angles. On le définit sur le cercle trigonométrique et sa mesure correspond à l’angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon.

Définition

Pour définir la mesure en radians, nous avons besoin du cercle trigonométrique. Sur ce cercle, plaçons deux points A et B de façon que l’arc qu’ils forment ait pour longueur un, c’est-à-dire que la longueur de l’arc soit égale au rayon du cercle. Si l’on note O le centre du cercle, alors l’angle $\widehat{AOB}$ mesure exactement un radian.

Le segment [AO] représente le rayon du cercle, il est coloré en rouge. L’autre trait rouge, l’arc AB, doit avoir la même longueur. L’important est que ce n’est pas la distance entre les points A et B qui nous intéresse, donc pas le segment [AB], mais bien la longueur de cet arc.

Quelle est la valeur du radian en degrés ? Environ 57° 17′ 45′′. Nous ne pouvons pas calculer la valeur exacte. On peut alors se demander à quoi sert une telle unité.

Calcul pratique avec les radians

Répondons d’abord à la question : combien de radians correspondent au cercle entier, c’est-à-dire combien de radians correspondent à 360 degrés ? Nous savons que la longueur de l’arc d’un radian est exactement le rayon du cercle. Combien de tels arcs pouvons-nous mettre bout à bout sur le cercle entier ? Le cercle entier a pour longueur (c’est-à-dire pour périmètre) exactement

$$\mathcal{P}=2\pi r.$$

Notre arc a pour longueur r, donc pour savoir combien de fois l’arc tient sur le cercle, nous devons diviser $\mathcal{P}/r$, ce qui donne :

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

La réponse est donc que nous pouvons porter 2π de ces arcs sur le cercle entier. C’est déjà un assez joli nombre. Nous pouvons ainsi écrire que

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{et}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Souvent, on omet aussi l’unité rad elle-même et on écrit simplement un angle de mesure, par exemple, 2π.

La figure suivante montre trois angles de mesure un radian, ce sont les angles alpha, bêta et gamma. Tu vois que la somme de leurs mesures fait presque 180 degrés. Mais comme pour 180 degrés il nous faudrait π radians et que π vaut environ 3,1415…, il manque encore un petit morceau.

Conversion des degrés en radians et inversement

La plupart des appareils et des programmes qui calculent les fonctions trigonométriques travaillent par défaut en radians. C’est un peu un problème si tu as un angle donné en degrés. Tu as deux possibilités : si c’est possible, régler l’appareil pour qu’il calcule en degrés, ou convertir les degrés en radians.

Par exemple, le moteur de recherche Google a une calculatrice intégrée, donc on peut y calculer, par exemple, la valeur de la fonction sinus. Mais par défaut, il travaille justement en radians, donc quand on essaie de calculer sin(30), on n’obtient pas le bon résultat 0,5, car Google n’a pas compris trente degrés, mais trente radians. Cependant, si l’on ajoute après le nombre le mot « degrees » (qui veut dire « degré » en anglais), le calcul est alors correct : sin(30 degrees). La plupart des calculatrices ont d’ailleurs deux modes, l’un qui travaille en degrés et l’autre en radians. En général, on les choisit avec une touche portant les mentions rad et deg. Rad est l’abréviation de radian, deg celle de degré (en anglais degree).

Si tu n’as pas le choix, tu dois convertir les degrés en radians ou inversement. Commençons par le premier cas : conversion des degrés en radians. Nous savons déjà que l’égalité 180° = π rad est vraie. Nous aimerions savoir à quelle fraction de radian correspond un degré, donc nous divisons l’équation par 180 :

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Nous savons maintenant combien de radians fait un degré. Si nous devons calculer, par exemple, trente degrés, nous multiplions cette fraction par trente :

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

On procède de même pour les autres degrés.

Passons maintenant au cas inverse, la conversion des radians en degrés. Partons de nouveau de l’égalité 180° = π rad. Si nous avons 2π radians, nous obtenons deux fois plus de degrés, donc 360. Si nous n’avons au contraire que la moitié de π radians, nous obtenons la moitié du nombre de degrés – 90. Nous divisons donc d’abord notre valeur en radians par le nombre π, ce qui nous donne le multiple de 180 degrés que représente l’angle. Ensuite, nous multiplions la valeur par 180 et nous avons l’angle en degrés. Donc, si nous avons un angle de 3π/2 radians, après la division nous obtenons :

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Nous multiplions ce résultat par 180 et nous avons l’angle en degrés : 3/2 · 180 = 270. Si nous avons deux radians, nous obtenons :

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114,59{\dots }^{\circ }$$

La relation de base entre la valeur en radians et la valeur en degrés est représentée par cette formule (rad est la valeur en radians, deg la valeur en degrés) :

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Histoire

Le concept de radian a probablement été créé en premier par Roger Cotes en 1714. À l’époque, son unité n’avait pas encore le nom de « radian », mais les autres définitions et propriétés étaient identiques. Le terme « radian » est apparu pour la première fois sur papier le 5 juin 1873, dans un article de James Thomson. L’unité aurait encore pu s’appeler « radial » ou simplement « rad ». (Source : Wikipédia)

Tableau des relations de conversion de base

Certains angles sont utilisés assez souvent, donc le tableau suivant donne les valeurs en degrés et leur équivalent en radians :

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{degrés : }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{radians : }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$